PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một máy bay loại nhỏ bắt đầu hạ cánh, đường bay của nó khi gắn với hệ trục tọa độ \(Oxy\) được mô phỏng như hình vẽ đã cho, đơn vị độ dài trên mỗi trục đều là kilômét. Biết đường bay của nó có dạng đồ thị của một hàm số bậc ba; vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ \(A( - 4;1)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi bay được \(1\) km theo phương ngang từ vị trí \(A\), thì phi công bắt đầu muốn tìm vị trí mà tính từ đó khi bay theo phương ngang \(1\) km sẽ hạ độ cao \(0,2\) km. Hỏi vị trí đó cách vị trí tiếp đất bao nhiêu km theo phương ngang (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Chọn a) Sai | b) Đúng| c) Đúng | d) Đúng

a) Khoảng cách giữa hai khinh khí cấu là

\(AB = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1,5 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0,5 - 0,8} \right)}^2}}  \approx 3,92\)km.

Chọn SAI.

b) Tại thời điểm \(t\) chiếc khinh khí cầu thứ nhất ở điểm \(M = A + vt\frac{{ - \overrightarrow i }}{{\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \left( {2 - 60t;1,5;0,5} \right)\).

Chọn SAI.

c) Tại thời điểm \(t\) chiếc khinh khí cầu thứ hai ở điểm \(N = B + vt\frac{{\overrightarrow j }}{{\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \left( { - 1; - 1 + 40t;0,8} \right)\).

Khoảng cách giữa hai khinh khí cầu tại thời điểm \(t\) là

\(MN = \sqrt {{{\left( {3 - 60t} \right)}^2} + {{\left( {2,5 - 40t} \right)}^2} + 0,{3^2}} \)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {3 - 60t} \right)^2} + {\left( {2,5 - 40t} \right)^2} + 0,{3^2}\)=\(5200{t^2} - 560t + 15,34\)

Suy ra \(\min f\left( t \right) = f\left( {\frac{7}{{130}}} \right)\)

\(M{N_{\min }} = \sqrt {f\left( {\frac{7}{{130}}} \right)}  \approx 0,51\).

Chọn ĐÚNG.

d) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với điểm \(A\) qua mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]\( \Rightarrow \)\(A'\left( {2;1,5; - 0,5} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BA'}  = \left( {3;2,5; - 1,3} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(A'B:\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t{\rm{     }}}\\{y = 1,5 + 2,5t}\end{array}}\\{z =  - 0,5 - 1,3t}\end{array}} \right.\).

Tọa độ điểm \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(A'B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là: \(P\left( {\frac{{11}}{{13}};\frac{7}{{13}};0} \right)\).

\( \Rightarrow a = \frac{{11}}{{13}},b = \frac{7}{{13}},c = 0\).

\( \Rightarrow 2a + b + c = \frac{{29}}{{13}}\).

Chọn ĐÚNG.

Gọi \({A_k}\) là biến cố An rút được thẻ số \(k\), với \(k \in \{ 1,2,3,4,5\} \).

Vì có 5 thẻ được đánh số từ 1 đến 5 và An rút ngẫu nhiên 1 thẻ, nên xác suất An rút được thẻ số \(k\) là \(P({A_k}) = \frac{1}{5}\) cho mỗi \(k\).

Khi An rút được thẻ số \(k\), Bình sẽ gieo \(k\) con xúc xắc. Mỗi con xúc xắc có 6 mặt (1, 2, 3, 4, 5, 6).
a) Xác suất để An chọn được thẻ số 5 là \(P({A_5})\).

Theo lập luận trên, \(P({A_5}) = \frac{1}{5}\). Vậy, phát biểu a) là đúng.

b) Gọi \({S_k}\) là biến cố tổng số chấm trên \(k\) con xúc xắc bằng 8.

Nếu An rút được thẻ số 3, Bình gieo 3 con xúc xắc. Không gian mẫu có \({6^3} = 216\) kết quả đồng khả năng.

Chúng ta cần tìm số cách để tổng số chấm của 3 con xúc xắc là 8. Gọi \(({x_1},{x_2},{x_3})\) là kết quả của 3 con xúc xắc, với \({x_i} \in \{ 1,2,3,4,5,6\} \).

Các bộ \(({x_1},{x_2},{x_3})\) có tổng bằng 8 là:

(1, 1, 6) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (116, 161, 611).

(1, 2, 5) và các hoán vị của nó: Có \(3! = 6\) cách (125, 152, 215, 251, 512, 521).

(1, 3, 4) và các hoán vị của nó: Có \(3! = 6\) cách (134, 143, 314, 341, 413, 431).

(2, 2, 4) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (224, 242, 422).

(2, 3, 3) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (233, 323, 332).

Tổng số kết quả thuận lợi là \(3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21\).

Xác suất để tổng số chấm bằng 8 khi gieo 3 con xúc xắc là \(P({S_3}) = \frac{{21}}{{216}} = \frac{7}{{72}}\).

Vậy, phát biểu b) là đúng.

c) Gọi \(E\) là biến cố không có mặt 6 chấm nào xuất hiện.

Nếu An rút được thẻ số \(k\), Bình gieo \(k\) con xúc xắc. Xác suất để không có mặt 6 chấm nào xuất hiện trên \(k\) con xúc xắc là \(P(E|{A_k})\).

Mỗi con xúc xắc có 5 mặt không phải là 6 chấm (1, 2, 3, 4, 5).

Vậy \(P(E|{A_k}) = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^k}\).

Xác suất để không có mặt 6 chấm xuất hiện là \(P(E) = \sum\limits_{k = 1}^5 P (E|{A_k})P({A_k})\).

\(P(E) = \sum\limits_{k = 1}^5 {{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^k}}  \cdot \frac{1}{5}\)\( = \frac{{4651}}{{7776}}\). Vậy, phát biểu c) là đúng.

d) Gọi \(F\) là biến cố có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.

Biến cố \(F\) là biến cố đối của biến cố \(E\) (không có mặt 6 chấm nào xuất hiện).

Do đó, \(P(F) = 1 - P(E) = 1 - \frac{{23255}}{{38880}} = \frac{{15625}}{{38880}}\).

Chúng ta cần tính xác suất \(P({A_4}|F)\), tức là xác suất An chọn được thẻ số 4 biết rằng có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.

Theo công thức Bayes: \(P({A_4}|F) = \frac{{P(F|{A_4})P({A_4})}}{{P(F)}}\).

Ta có \(P({A_4}) = \frac{1}{5}\).

\(P(F|{A_4})\) là xác suất có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện khi An rút thẻ số 4 (Bình gieo 4 con xúc xắc).

\(P(F|{A_4}) = 1 - P(E|{A_4}) = 1 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^4} = \frac{{671}}{{1296}}\).
Thay các giá trị vào công thức Bayes ta được: \(P({A_4}|F) = \frac{{4026}}{{15625}}\). Vậy, phát biểu d) là đúng.