Câu hỏi:

10/05/2026 427

Trên sân khấu của chương trình ngoại khoá Toán học của trường THPT X, người ta đặt hai màn hình cảm ứng A và B hoạt động độc lập với nhau. Trên mỗi màn hình có một thanh trượt di chuyển đều từ 0 đến 2. Khi người chơi bấm dừng, thanh trượt dừng ngẫu nhiên tại một số thực thuộc đoạn \[\left[ {0;2} \right].\] Gọi 2 số thực xuất hiện trên hai màn hình A, B lần lượt là $a,b.$ MC đưa ra phương trình ${x^3} - 3bx + 2a = 0$ và quy định: Nếu phương trình có ít nhất 2 nghiệm thực, người chơi sẽ nhận được một phần quà lưu niệm. Nếu phương trình chỉ có 1 nghiệm thực, người chơi sẽ nhận được 1 tràng pháo tay từ khán giả. Hãy tính xác suất để người chơi nhận được 1 phần quà lưu niệm (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Toán Tốt nghiệp THPT 2025-2026 Đà Nẵng !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án:

0,5

Đáp án: 0,5

(i) Trước hết, ta đi tìm điều kiện để phương trình $f\left( x \right) = 0$ với $f\left( x \right) = {x^3} - 3bx + 2a$ và $a,b \in \left[ {0;2} \right]$ có ít nhất hai nghiệm.

· Nhận thấy rằng, do $f\left( x \right)$ làm hàm số bậc ba nên phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có ít nhất hai nghiệm khi và chỉ khi $f\left( x \right)$ có hai cực trị thoả mãn ${y_{{\rm{CD}}}} \cdot {y_{{\rm{CT}}}} \le 0$

· $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2b;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = b \Leftrightarrow x = \pm \sqrt b $ với $b > 0.$

· Khi đó,

$\begin{array}{l}\quad \,\,{y_{{\rm{CD}}}} \cdot {y_{{\rm{CT}}}} \le 0\\ \Leftrightarrow \left( { - b\sqrt b + 3b\sqrt b + 2a} \right)\left( {b\sqrt b - 3b\sqrt b + 2a} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {2a - 2b\sqrt b } \right)\left( {2a + 2b\sqrt b } \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^3} \le 0\\ \Leftrightarrow {b^3} \ge {a^2}\\ \Leftrightarrow b \ge {a^{\frac{2}{3}}}\end{array}$

· Vậy để $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất hai nghiệm thì điều kiện của \[a,b\] là miền $D:\left\{ \begin{array}{l}a \in \left[ {0;2} \right]\\b \in \left( {0;2} \right]\\b \ge {a^{\frac{2}{3}}}.\end{array} \right.$

Vẽ miền $D$ trong hệ trục toạ độ $Oab$, ta được phần gạch sọc như hình bên dưới:

Trên sân khấu của chương trình ngoại khoá Toán học của trường THPT X, người ta đặt hai màn hình cảm ứng A và B hoạt động độc lập với nhau. Trên mỗi màn hình có một thanh trượt di chuyển đều từ 0 đến 2. (ảnh 1)

Diện tích miền $D$ là \[{S_D} = \int\limits_0^2 {\left( {2 - {a^{\frac{2}{3}}}} \right){\rm{d}}a} \approx 2,095\]

(ii) Gọi \[M\] là biến cố “Người chơi nhận được một phần quà lưu niệm”. Khi đó

· $\Omega = \left\{ {\left. {\left( {a;b} \right)} \right|a;b \in \left[ {0;2} \right]} \right\} \Rightarrow \Omega $ biểu diễn một hình vuông cạnh bằng 2. Diện tích của miền $\Omega $ là ${S_\Omega } = 4.$

· $P\left( M \right) = \frac{{{S_D}}}{{{S_\Omega }}} \approx 0,5.$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Trong không gian, xem mặt đất là mặt phẳng, gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$trong đó mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo trên mỗi trục là $km$). Người quan sát thấy có hai chiếc khinh khí cầu đang bay trên bầu trời. Tại thời điểm bắt đầu quan sát, chiếc thứ nhất đang ở vị trí $A\left( {2;1,5;0,5} \right)$ và bay thẳng về phía bắc với tốc độ không đổi là $60$(km/h), còn chiếc thứ hai đang ở vị trí điểm $B\left( { - 1; - 1;0,8} \right)$ và bay thẳng về phía đông với tốc độ không đổi là $40$(km/h). Trong suốt quá trình bay thì hai chiếc khinhh khí cầu này luôn giữ nguyên độ cao so với mặt đất.

$$ \Rightarrow 2a + b + c = \frac{{29}}{{13}}$. Chọn ĐÚNG. (ảnh 1)$

a) Tại thời điểm bắt đầu quan sát, khoảng cách giữa hai khinh khí cầu bằng $\frac{{767}}{{50}}$(km).

Đúng

Sai

b) Tại thời điểm $t$ giờ, khinh khí cầu thứ nhất đến vị trí ${M_1}\left( {2 + 60t;1,5;0,5} \right)$.

Đúng

Sai

c) Khoảng cách ngắn nhất giữa hai khinh khí cầu không lớn hơn $0,54$(km).

Đúng

Sai

d) Tại thời điểm bắt đầu quan sát, một người ở trên mặt đất tại vị trí $M\left( {a;b;c} \right)$ sao cho tổng khoảng cách từ người đó đến hai khinh khí cầu nhỏ nhất, khi đó $2a + b + c = \frac{{29}}{{13}}$.

Đúng

Sai

Lời giải

$$ \Rightarrow 2a + b + c = \frac{{29}}{{13}}$. Chọn ĐÚNG. (ảnh 2)$

Chọn a) Sai | b) Đúng| c) Đúng | d) Đúng

a) Khoảng cách giữa hai khinh khí cấu là

$AB = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1,5 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0,5 - 0,8} \right)}^2}} \approx 3,92$km.

Chọn SAI.

b) Tại thời điểm $t$ chiếc khinh khí cầu thứ nhất ở điểm $M = A + vt\frac{{ - \overrightarrow i }}{{\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \left( {2 - 60t;1,5;0,5} \right)$.

Chọn SAI.

c) Tại thời điểm $t$ chiếc khinh khí cầu thứ hai ở điểm $N = B + vt\frac{{\overrightarrow j }}{{\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \left( { - 1; - 1 + 40t;0,8} \right)$.

Khoảng cách giữa hai khinh khí cầu tại thời điểm $t$ là

$MN = \sqrt {{{\left( {3 - 60t} \right)}^2} + {{\left( {2,5 - 40t} \right)}^2} + 0,{3^2}} $

Xét hàm số $f\left( t \right) = {\left( {3 - 60t} \right)^2} + {\left( {2,5 - 40t} \right)^2} + 0,{3^2}$=$5200{t^2} - 560t + 15,34$

Suy ra $\min f\left( t \right) = f\left( {\frac{7}{{130}}} \right)$

$M{N_{\min }} = \sqrt {f\left( {\frac{7}{{130}}} \right)} \approx 0,51$.

Chọn ĐÚNG.

d) Gọi $A'$ là điểm đối xứng với điểm $A$ qua mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]$ \Rightarrow $$A'\left( {2;1,5; - 0,5} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {BA'} = \left( {3;2,5; - 1,3} \right)$

Phương trình đường thẳng $A'B:$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t{\rm{ }}}\\{y = 1,5 + 2,5t}\end{array}}\\{z = - 0,5 - 1,3t}\end{array}} \right.$.

Tọa độ điểm $P$ là giao điểm của đường thẳng $A'B$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là: $P\left( {\frac{{11}}{{13}};\frac{7}{{13}};0} \right)$.

$ \Rightarrow a = \frac{{11}}{{13}},b = \frac{7}{{13}},c = 0$.

$ \Rightarrow 2a + b + c = \frac{{29}}{{13}}$.

Chọn ĐÚNG.

Câu 2

Trong không gian, cho hai vecto $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow u } \right| = 5,\,\,\left| {\overrightarrow v } \right| = 8$ và $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 120^\circ $. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $\overrightarrow u .\overrightarrow v = - 20$.

B. $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 40$.

C. $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 20$.

D. $\overrightarrow u .\overrightarrow v = - 20\sqrt 3 $.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \times \left| {\overrightarrow v } \right| \times cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 5.8.\cos {120^0} = 5.8.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 20$.

Câu 3

Một kĩ sư phần mềm kí hợp đồng lao động với một công ty công nghệ. Theo thỏa thuận, vào đầu mỗi năm làm việc, kĩ sư này nhận mức lương của năm đó. Mức lương năm đầu tiên là \[120\] triệu đồng/ năm. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm mức lương sẽ được tăng thêm \[12\] triệu đồng so với năm liền trước đó.

a) Mức lương của kĩ sư đó qua từng năm lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \[{u_1} = 120\]và công sai \[d = 12\] (\[{u_1}\]và \[d\] đơn vị triệu đồng).

Đúng

Sai

b) Vào năm thứ \[5\] làm việc cho công ty, mức lương của kĩ sư đó nhận được trong năm đó là 180 triệu đồng.

Đúng

Sai

c) Sau \[10\] năm làm việc, tổng số tiền lương kĩ sư đó nhận được từ công ty là \[1740\] triệu đồng.

Đúng

Sai

d) Nếu ngay sau khi nhận lương vào ngày \[1/1\] mỗi năm, kĩ sư trích ra \[40\% \] số tiền đó để gửi tiết kiệm tại một ngân hàng với lãi suất \[5\% \] theo hình thức lãi kép (tiền lãi của mỗi năm được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo). Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình gửi, và việc nhận lương của kĩ sư không bị gián đoạn, đồng thời ngân hàng luôn tính lãi cuối kì vào ngày \[31/12\] của năm đó. Khi đó, tổng số tiền lãi mà kĩ sư nhận được tại thời điểm hết năm gửi tiền thứ \[10\] (làm tròn đến hàng đơn vị) là \[198\] (triệu đồng).

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Hai bạn An và Bình cùng chơi trò chơi. An rút ngẫu nhiên 1 thẻ trong hộp đựng 5 thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Sau đó Bình gieo xúc xắc với số lượng xúc xắc bằng đúng với số trên thẻ An rút được. Biết rằng các xúc xắc đều cân đối và đồng chất.

a) Xác suất để An chọn được thẻ số 5 là $\frac{1}{5}$.

Đúng

Sai

b) Biết rằng An rút được thẻ số 3, xác suất để tổng số chấm trên các con xúc xắc Bình gieo bằng 8 là $\frac{7}{{72}}$.

Đúng

Sai

c) Xác suất để không có mặt 6 chấm xuất hiện là $\frac{{4651}}{{7776}}$.

Đúng

Sai

d) Xác suất để An chọn được thẻ số 4 bằng $\frac{{4026}}{{15625}}$, biết rằng có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một cửa hàng bán tạp chí với giá $40{\mkern 1mu} $nghìn đồng một cuốn. Chi phí xuất bản $x$ cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in,…) được cho bởi công thức $C(x) = 0,004{x^2} - 2x + 1000$, $C\left( x \right)$ được tính theo đơn vị nghìn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là $10{\mkern 1mu} $nghìn đồng. Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và $50{\mkern 1mu} $triệu nhận được từ sự trợ giúp của báo chí. Giả sử số cuốn tạp chí in ra đều được bán hết. Cửa hàng thu được lợi nhuận nhiều nhất khi in $a$ cuốn tạp chí, khi đó lợi nhuận thu được là $T$ (triệu đồng). Tính $a + T$.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh $5$, hình chiếu $A'$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm của \[BC\] và góc nhị diện $\left[ {C',BC,A} \right]$ bằng $120^\circ $. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Một cái ly thủy tinh có chiều cao $30cm$. Khi cắt ly bởi các mặt phẳng song song với mặt đất, ta thấy mặt cắt là các hình tròn. Khi cắt lay bởi mặt phẳng đi qua trục đối xứng và vuông góc với đáy, ta được một hình phẳng $ABCD$ có trục đối xứng, với hai đường biến $AD$ và $BC$ là các cung của hypebol (xem hình minh họa). Biết đường tròn giao tuyến tại vị trí hẹp nhất của ly có đường kính$MN = 8cm$, khoảng cách từ vị trí hẹp nhất này đến đáy ly là$20cm$ và đường kính đáy ly là$CD = 8\sqrt 6 cm$( độ dày thành ly xem như không đáng kể). An đặt một khối lập phương đặt ruột, bằng kim loại, lên miệng ly nước sao cho một đỉnh của khối lập phương nằm gọn trong lòng ly, đồng thời mô hình ly nước và khối lập phương cùng lấy trục ly nước làm trục đối xứng. Giả sử, coi như ba cạnh của khối lập phương chạm khít với thành miệng ly (xem hình vẽ). nếu ban đầu An đổ nước đầy ly thì sau khi đặt đặt khối lập phương như trên, lượng nước trong ly còn lại bao nhiêu centimet khối? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

$Đổi sang đơn vị triệu đồng, ta có $T = 113{\mkern 1mu} $triệu đồng. (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán