Tốc độ thay đổi của số lượng vi khuẩn trong \(1\) ml nước ở hồ bơi \(X\) tại thời điểm \(t\) (ngày) kể từ lúc hồ nước được xử lý được mô hình bởi hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{1000}}{{{{\left( {1 + 0,2t} \right)}^2}}}\) (con/ngày), \(t \ge 0\). Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là \(500\) con trên mỗi ml nước và mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới \(3000\) con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lý và thay nước mới cho hồ bơi.

a) Đúng. Trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) ta có \(v\left( t \right) = 5\) \(\left( {m/s} \right)\). Suy ra \(v\left( 1 \right) = 5\) \(\left( {m/s} \right)\).

b) Sai. Xét trên đoạn \(\left[ {2;5} \right]\), giả sử parabol có phương trình \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Khi đó parabol đi qua các điểm \(\left( {2;5} \right)\), \(\left( {3;4} \right)\), \(\left( {5;8} \right)\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + c = 5\\a \cdot {3^2} + b \cdot 3 + c = 4\\a \cdot {5^2} + b \cdot 5 + c = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 6\\c = 13\end{array} \right.\). Suy ra \(v\left( t \right) = {t^2} - 6t + 13\).

Suy ra \(v\left( 4 \right) = 5\) \(\left( {m/s} \right)\).

c) Sai. Xét trên đoạn \(\left[ {3;7} \right]\), giả sử đường thẳng có phương trình \(v\left( t \right) = mt + n\,\,\left( {m \ne 0} \right)\).

Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {5;8} \right),\,\left( {7;0} \right)\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}5 \cdot m + n = 8\\7 \cdot m + n = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 4\\n = 28\end{array} \right.\). Suy ra \(v\left( t \right) =  - 4t + 28\).

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \(t = 3\) đến \(t = 7\) bằng

\(S = \int\limits_3^7 {v\left( t \right)dt} \)\( = \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} - 6t + 13} \right)dt}  + \int\limits_5^7 {\left( { - 4t + 28} \right)dt}  = \frac{{56}}{3} \approx 18,67\) \(\left( m \right)\).

d) Đúng. Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ \(t = 2\) đến \(t = 7\) là

\(\frac{1}{{7 - 2}}\int\limits_2^7 {v\left( t \right)dt}  = \frac{1}{5}\left( {\int\limits_2^5 {\left( {{t^2} - 6t + 13} \right)dt}  + \int\limits_5^7 {\left( { - 4t + 28} \right)dxt} } \right) = 4,6\) \(\left( {m/s} \right)\).