Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(30{\rm{ cm}}\). Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí \(A\) và \(D\), kiến vàng đi thẳng từ \(A\) đến \(D'\) với vận tốc \(1{\rm{ cm/s}}\) và kiến đen đi thẳng từ \(D\) đến \(B\) với vận tốc \(2{\rm{ cm/s}}\). Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu xuất phát, khoảng cách giữa hai con kiến là bé nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: \(5\).

Số lượng vi khuẩn trong hồ bơi là

\(F\left( t \right) = \int {\frac{{1000}}{{{{\left( {1 + 0,2 \cdot t} \right)}^2}}}{\rm{d}}t = \frac{{ - 5000}}{{1 + 0,2t}}}  + C\).

Tại thời điểm ban đầu, số lượng vi khuẩn trong hồ bơi là \(500\) con nên ta có

         \(\frac{{ - 5000}}{{1 + 0,2 \cdot 0}} + C = 500 \Leftrightarrow C = 5500\).

Do đó \(F\left( t \right) = \frac{{ - 5000}}{{1 + 0,2 \cdot t}} + 5500\).

Vì hồ bơi chỉ an toàn khi số lượng vi khuẩn trong hồ bơi nhỏ hơn \(3000\) nên số ngày hồ bơi sử dụng được là: \(\frac{{ - 5000}}{{1 + 0,2 \cdot t}} + 5500 < 3000 \Leftrightarrow 1 + 0,2 \cdot t < 2 \Leftrightarrow t < 5\).

Vậy sau \(5\) ngày thì người ta nên thay nước mới cho hồ bơi.

a) Đúng. Trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) ta có \(v\left( t \right) = 5\) \(\left( {m/s} \right)\). Suy ra \(v\left( 1 \right) = 5\) \(\left( {m/s} \right)\).

b) Sai. Xét trên đoạn \(\left[ {2;5} \right]\), giả sử parabol có phương trình \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Khi đó parabol đi qua các điểm \(\left( {2;5} \right)\), \(\left( {3;4} \right)\), \(\left( {5;8} \right)\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + c = 5\\a \cdot {3^2} + b \cdot 3 + c = 4\\a \cdot {5^2} + b \cdot 5 + c = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 6\\c = 13\end{array} \right.\). Suy ra \(v\left( t \right) = {t^2} - 6t + 13\).

Suy ra \(v\left( 4 \right) = 5\) \(\left( {m/s} \right)\).

c) Sai. Xét trên đoạn \(\left[ {3;7} \right]\), giả sử đường thẳng có phương trình \(v\left( t \right) = mt + n\,\,\left( {m \ne 0} \right)\).

Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {5;8} \right),\,\left( {7;0} \right)\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}5 \cdot m + n = 8\\7 \cdot m + n = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 4\\n = 28\end{array} \right.\). Suy ra \(v\left( t \right) =  - 4t + 28\).

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \(t = 3\) đến \(t = 7\) bằng

\(S = \int\limits_3^7 {v\left( t \right)dt} \)\( = \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} - 6t + 13} \right)dt}  + \int\limits_5^7 {\left( { - 4t + 28} \right)dt}  = \frac{{56}}{3} \approx 18,67\) \(\left( m \right)\).

d) Đúng. Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ \(t = 2\) đến \(t = 7\) là

\(\frac{1}{{7 - 2}}\int\limits_2^7 {v\left( t \right)dt}  = \frac{1}{5}\left( {\int\limits_2^5 {\left( {{t^2} - 6t + 13} \right)dt}  + \int\limits_5^7 {\left( { - 4t + 28} \right)dxt} } \right) = 4,6\) \(\left( {m/s} \right)\).