Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(30{\rm{ cm}}\). Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí \(A\) và \(D\), kiến vàng đi thẳng từ \(A\) đến \(D'\) với vận tốc \(1{\rm{ cm/s}}\) và kiến đen đi thẳng từ \(D\) đến \(B\) với vận tốc \(2{\rm{ cm/s}}\). Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu xuất phát, khoảng cách giữa hai con kiến là bé nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: \(9\)

Xác định tọa độ vị trí hai con kiến tại thời điểm \(t{\rm{ }}(t \ge 0)\).

·            Kiến vàng (đi từ \(A\) đến \(D'\)):

o     Vectơ\(\overrightarrow {AD'}  = (0;30;30)\), độ dài\(AD' = 30\sqrt 2 \).

o     Vận tốc\({v_1} = 1{\rm{ cm/s}}\). Sau thời gian \(t\), kiến vàng ở vị trí \(M\).

o     Tọa độ \(M\): 

\(\overrightarrow {AM}  = \frac{{{v_1} \cdot t}}{{AD'}} \cdot \overrightarrow {AD'}  = \frac{t}{{30\sqrt 2 }}(0;30;30) = \left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow M\left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)\).

·            Kiến đen (đi từ \(D\) đến \(B\)):

o     Vectơ \(\overrightarrow {DB}  = (30; - 30;0)\), độ dài \(DB = 30\sqrt 2 \).

o     Vận tốc \({v_2} = 2{\rm{ cm/s}}\). Sau thời gian \(t\), kiến đen ở vị trí \(N\).

o     Tọa độ \(N\):

\(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = (0;30;0) + \frac{{{v_2} \cdot t}}{{DB}} \cdot \overrightarrow {DB} \)

\(\overrightarrow {AN}  = (0;30;0) + \frac{{2t}}{{30\sqrt 2 }}(30; - 30;0) = (0;30;0) + \left( {\sqrt 2 t; - \sqrt 2 t;0} \right) \Rightarrow N\left( {\sqrt 2 t;30 - \sqrt 2 t;0} \right)\)

Khoảng cách giữa hai con kiến là \(d = MN\). Ta có:

\(M{N^2} = {(\sqrt 2 t - 0)^2} + {\left( {30 - \sqrt 2 t - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {0 - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = 2{t^2} + {\left( {30 - \frac{{3t}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{{t^2}}}{2} = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900\)

Hàm số \(f(t) = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900\) là một parabol có bề lõm quay lên trên, đạt giá trị nhỏ nhất tại:

\(t =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{90\sqrt 2 }}{{2 \cdot 7}} = \frac{{45\sqrt 2 }}{7} \approx 9,0913\).