Một đơn vị xây dựng đang lắp đặt hệ thống sàn nghiêng cho một nhà kho. Tại 4 góc \(A,B,C,D\) của hình vuông \(ABCD\) trên trần nhà cạnh \(4\,m\) người ta thả các dây dọi xuống chạm nền tại các điểm \(A',B',C',D'\). Biết độ dài các đoạn dây dọi tại \(A,B,C\) lần lượt là \(AA' = 5m,\,\,BB' = 5,5\,m\), \(CC' = 6m\). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(O\) là trung điểm của \(AB\), tia \(Ox\) đi qua \(B\), tia \(Oy\) đi qua trung điểm của \(CD\), mặt phẳng \(Oxy\) trùng với mặt trần (tham khảo hình vẽ). Các khẳng định sau đúng hay sai? 

a) Sai.

Ta có \(A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {2;0;0} \right),C\left( {2;4;0} \right),D\left( { - 2;4;0} \right)\).

Khi đó ta có \(A'\left( { - 2;0;5} \right),B'\left( {2;0;5,5} \right),C'\left( {2;4;6} \right)\).

\(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {4;0;0,5} \right),\,\,\overrightarrow {A'C'}  = \left( {4;4;1} \right)\)

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) là \(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( { - 2; - 2;16} \right)\).

Hay \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 8} \right)\)

b) Đúng.

Phương trình mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) đi qua điểm \(A'\left( { - 2;0;5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 8} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là:

\(1\left( {x + 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) - 8\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 8z + 42 = 0\).

Điểm \(D'\left( { - 2;4;{z_{D'}}} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) nên ta có \( - 2 + 4 - 8.{z_{D'}} + 42 = 0 \Leftrightarrow {z_{D'}} = 5,5\).

Vậy độ dài sợi dây là \(5,5\,m\).

c) Sai.

Tọa độ điểm \(D\left( { - 2;4;0} \right)\).

d) Sai.

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 8} \right)\).

Khi đó, \(\cos \left( {\left( {Oxy} \right),\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{8}{{\sqrt {1 + 1 + 64} .1}} = \frac{8}{{\sqrt {66} }}\).

Khi đó, góc nghiêng của nền nhà kho so với phương ngang xấp xỉ \(10,02^\circ \).