Mô hình Toán học sau đây được sử dụng trong quan sát các vật trong không gian. Trong không gian cho hệ trục toạ độ \(Oxyz\) có \(\overrightarrow i ;\,\overrightarrow j ;\,\overrightarrow k \) tương ứng là các véc tơ đơn vị trên các trục \(Ox;\,Oy;\,Oz\) và độ dài mỗi vectơ đơn vị bằng \(1\,\) đề-xi-mét (dm). Mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hoá bởi mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\) và tiếp xúc với mặt phẳng sàn nhà. Một tấm gỗ mỏng (coi như một mặt phẳng) tiếp xúc với bề mặt quả bóng, phần giao của tấm gỗ và sàn nhà là đường thẳng \(d\) có phương trình \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\). Gọi \(A,\,B\) tương ứng là tiếp điểm của tấm gỗ, sàn nhà với quả bóng và \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Đáp án: 156

Đặt \(AB = x\)(\(0 < x < 10\)).

Ta có :    \(SO = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 \).

Suy ra \(SH = SO - OH = 5\sqrt 3  - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\).

Chiều cao khối chóp \(h = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 3  - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {75 - 15x} \).

Thể tích khối chóp là : \(V = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \sqrt {75 - 15x} \)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {75{x^4} - 15{x^5}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 75{x^4} - 15{x^5}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 300{x^3} - 75{x^4} = 75{x^3}\left( {4 - x} \right)\).

Ta có:  \(f'{\kern 1pt} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\).

Vậy thể tích lớn nhất khi cạnh \(AB = 4\) suy ra diện tích bạn Hoa cắt đi là

\(S = 6\frac{{{{10}^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left( {5\sqrt 3  - 2\sqrt 3 } \right) = 155,88\).

a) Gọi sau \(t\) phút ta có thể tích nước trong thùng là \(2000 + 50t\) (lít).

Khi đó khối lượng đường là \(5000 + 1000t\) (gam).

Nồng độ đường trong thùng sau \(t\) phút là \(f\left( t \right) = \frac{{1000t + 5000}}{{50t + 2000}}\).

Khi \(t \to  + \infty \) ta có \(f\left( t \right) \to 20\) (gam/lít).

Vậy với tiêu chuẩn này nhà máy có thể sản xuất trong thời gian dài.

Chọn Sai.

b) Nồng độ đường trong thùng sau \(t\) phút là \(f\left( t \right) = \frac{{1000t + 5000}}{{50t + 2000}}\) (gam/lít).

Chọn Đúng.

c) Khối lượng đường trong thùng sau \(t\) phút là \(5000 + 1000t\) (gam).

Chọn Đúng.

d) Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{1000t + 5000}}{{50t + 2000}}\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{1750000}}{{{{\left( {50t + 2000} \right)}^2}}} > 0\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right)\).

Hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) nên nồng độ đường trong thùng luôn tăng khi sản xuất trong thời gian dài.

Chọn Đúng.