Mô hình Toán học sau đây được sử dụng trong quan sát các vật trong không gian. Trong không gian cho hệ trục toạ độ \(Oxyz\) có \(\overrightarrow i ;\,\overrightarrow j ;\,\overrightarrow k \) tương ứng là các véc tơ đơn vị trên các trục \(Ox;\,Oy;\,Oz\) và độ dài mỗi vectơ đơn vị bằng \(1\,\) đề-xi-mét (dm). Mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hoá bởi mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\) và tiếp xúc với mặt phẳng sàn nhà. Một tấm gỗ mỏng (coi như một mặt phẳng) tiếp xúc với bề mặt quả bóng, phần giao của tấm gỗ và sàn nhà là đường thẳng \(d\) có phương trình \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\). Gọi \(A,\,B\) tương ứng là tiếp điểm của tấm gỗ, sàn nhà với quả bóng và \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Đáp án: 363

Số cách chọn 4 đỉnh ngẫu nhiên từ 26 đỉnh của đa giác đều là \(n\left( \Omega  \right) = C_{26}^4 = 14950\)

Gọi \(A\): "tứ giác được chọn có bốn đỉnh là đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của \((H)\)".

Gọi các đỉnh của đa giác đều lần lượt là \({A_1},{A_2},...,{A_{26}}\).

Xét tứ giác thỏa mãn điều kiện đề bài có đỉnh \({A_1}\), khi đó \({A_2}\) và \({A_{26}}\) không phải là đỉnh của tứ giác này. Ta cần chọn thêm các đỉnh \({A_i},{A_j},{A_k}\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{i \ge 3}\\{i + 1 < j}\\{j + 1 < k}\\{k \le 25}\end{array}} \right.\) (vì giữa hai đỉnh của tứ giác phải có ít nhất 1 đỉnh của đa giác).

Từ đó \(3 \le i < j - 1 < k - 2 \le 23\), nên bộ \((i,j - 1,k - 2)\) được chọn bằng cách chọn 3 số từ tập \(\{ 3;4;5;...;23\} \), có \(C_{21}^3\) cách chọn.

Các đỉnh \({A_1},{A_i},{A_j},{A_k}\) có vai trò như nhau, ở đây ta đang cố định đỉnh \({A_1}\) nên khi đếm như vậy tới khi cố định hết 26 đỉnh của đa giác, mỗi tứ giác đã đếm lại 4 lần. Do đó số tứ giác thỏa mãn là: \(\frac{{26.C_{21}^3}}{4} = 8645\). Xác suất cần tính: \(P = \frac{{8645}}{{14950}} = \frac{{123}}{{230}}\).

\( \Rightarrow Q = a + b = 133 + 230 = 363\).

Cách 2:

Số cách chọn 4 đỉnh ngẫu nhiên từ 26 đỉnh của đa giác đều là \(n\left( \Omega  \right) = C_{26}^4 = 14950\)

Số cách chọn \[k\] đỉnh không kề nhau trên đa giác \[n\] đỉnh là \(\frac{n}{{n - k}}C_{n - k}^k = \frac{{26}}{{26 - 4}}C_{26 - 4}^4 = 8645\)

Vậy xác suất để chọn được tứ giác thỏa yêu cầu đề bài là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{8645}}{{14950}} = \frac{{133}}{{230}}\)

\( \Rightarrow Q = a + b = 133 + 230 = 363\).

Đáp án: 156

Đặt \(AB = x\)(\(0 < x < 10\)).

Ta có :    \(SO = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 \).

Suy ra \(SH = SO - OH = 5\sqrt 3  - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\).

Chiều cao khối chóp \(h = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 3  - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {75 - 15x} \).

Thể tích khối chóp là : \(V = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \sqrt {75 - 15x} \)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {75{x^4} - 15{x^5}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 75{x^4} - 15{x^5}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 300{x^3} - 75{x^4} = 75{x^3}\left( {4 - x} \right)\).

Ta có:  \(f'{\kern 1pt} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\).

Vậy thể tích lớn nhất khi cạnh \(AB = 4\) suy ra diện tích bạn Hoa cắt đi là

\(S = 6\frac{{{{10}^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left( {5\sqrt 3  - 2\sqrt 3 } \right) = 155,88\).