Mô hình Toán học sau đây được sử dụng trong quan sát các vật trong không gian. Trong không gian cho hệ trục toạ độ \(Oxyz\) có \(\overrightarrow i ;\,\overrightarrow j ;\,\overrightarrow k \) tương ứng là các véc tơ đơn vị trên các trục \(Ox;\,Oy;\,Oz\) và độ dài mỗi vectơ đơn vị bằng \(1\,\) đề-xi-mét (dm). Mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hoá bởi mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\) và tiếp xúc với mặt phẳng sàn nhà. Một tấm gỗ mỏng (coi như một mặt phẳng) tiếp xúc với bề mặt quả bóng, phần giao của tấm gỗ và sàn nhà là đường thẳng \(d\) có phương trình \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\). Gọi \(A,\,B\) tương ứng là tiếp điểm của tấm gỗ, sàn nhà với quả bóng và \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Toán Tốt nghiệp THPT 2025-2026 Thái Nguyên !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Điểm \(I\left( {2;\, - 1;\, - 1} \right)\).
Gọi \(H\left( { - 2 + 2t;\, - 1 - 3t;\,t} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d\).
\[\overrightarrow {IH} \left( { - 4 + 2t;\, - 3t;\,t + 1} \right)\]
Véc tơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow u \left( {2;\, - 3;\,1} \right)\)
\(\overrightarrow {IH} \bot \overrightarrow u \Leftrightarrow 2\left( { - 4 + 2t} \right) - 3\,\left( { - 3t} \right) + 1\,\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)
\[H\left( { - 1;\, - \frac{5}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\]\[ \Rightarrow a = - 1;\,b = - \frac{5}{2};\,c = \frac{1}{2} \Rightarrow b = - 5c\]. Sai
b)
Vì \(A,\,B\) tương ứng là tiếp điểm của tấm gỗ, sàn nhà với quả bóng và \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(IA \bot d,\,IB \bot d\)
\[H\left( { - 1;\, - \frac{5}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\] là hình chiếu vuông góc của \[I\]lên \[d\]
\[IA = R = 2,\,IH = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1,5} \right)}^2} + {{\left( {1,5} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]
.
Xét \[\Delta IAH\] vuông tại \[A\]
\[cos\frac{\alpha }{2} = cos\widehat {AIH} = \frac{R}{{IH}} = \frac{2}{{\frac{{3\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{4}{{3\sqrt 6 }} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} \simeq {57^0} \Rightarrow \alpha \simeq {114^0} \simeq 1,99\,rad\].
Do đó . Đúng
c) Phương trình tham số của \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = - 1 - 3t\\z = t\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R} \Rightarrow K \in d\), toạ độ \(K\left( { - 2 + 2t;\, - 1 - 3t;\,t} \right)\). Đúng
d) Ta có mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\) bán kính \(R = 2\) và tâm \(I\left( {2;\, - 1; - \,1} \right)\). Sai
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 156
Đặt \(AB = x\)(\(0 < x < 10\)).
Ta có : \(SO = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 \).
Suy ra \(SH = SO - OH = 5\sqrt 3 - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\).
Chiều cao khối chóp \(h = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 3 - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {75 - 15x} \).
Thể tích khối chóp là : \(V = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \sqrt {75 - 15x} \)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {75{x^4} - 15{x^5}} \).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 75{x^4} - 15{x^5}\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 300{x^3} - 75{x^4} = 75{x^3}\left( {4 - x} \right)\).
Ta có: \(f'{\kern 1pt} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\).
Vậy thể tích lớn nhất khi cạnh \(AB = 4\) suy ra diện tích bạn Hoa cắt đi là
\(S = 6\frac{{{{10}^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left( {5\sqrt 3 - 2\sqrt 3 } \right) = 155,88\).
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Gọi sau \(t\) phút ta có thể tích nước trong thùng là \(2000 + 50t\) (lít).
Khi đó khối lượng đường là \(5000 + 1000t\) (gam).
Nồng độ đường trong thùng sau \(t\) phút là \(f\left( t \right) = \frac{{1000t + 5000}}{{50t + 2000}}\).
Khi \(t \to + \infty \) ta có \(f\left( t \right) \to 20\) (gam/lít).
Vậy với tiêu chuẩn này nhà máy có thể sản xuất trong thời gian dài.
Chọn Sai.
b) Nồng độ đường trong thùng sau \(t\) phút là \(f\left( t \right) = \frac{{1000t + 5000}}{{50t + 2000}}\) (gam/lít).
Chọn Đúng.
c) Khối lượng đường trong thùng sau \(t\) phút là \(5000 + 1000t\) (gam).
Chọn Đúng.
d) Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{1000t + 5000}}{{50t + 2000}}\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{1750000}}{{{{\left( {50t + 2000} \right)}^2}}} > 0\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right)\).
Hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) nên nồng độ đường trong thùng luôn tăng khi sản xuất trong thời gian dài.
Chọn Đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập