PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một thùng đựng rác có dạng hình chóp cụt đều. Đáy và miệng thùng là các hình vuông tương ứng có độ dài cạnh bằng \(80\)cm và \(120\)cm, cạnh bên của thùng dài \(100\)cm. Thể tích của thùng đựng rác đã cho bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 156

Đặt \(AB = x\)(\(0 < x < 10\)).

Ta có :    \(SO = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 \).

Suy ra \(SH = SO - OH = 5\sqrt 3  - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\).

Chiều cao khối chóp \(h = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 3  - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {75 - 15x} \).

Thể tích khối chóp là : \(V = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \sqrt {75 - 15x} \)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {75{x^4} - 15{x^5}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 75{x^4} - 15{x^5}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 300{x^3} - 75{x^4} = 75{x^3}\left( {4 - x} \right)\).

Ta có:  \(f'{\kern 1pt} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\).

Vậy thể tích lớn nhất khi cạnh \(AB = 4\) suy ra diện tích bạn Hoa cắt đi là

\(S = 6\frac{{{{10}^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left( {5\sqrt 3  - 2\sqrt 3 } \right) = 155,88\).

a) Điểm \(I\left( {2;\, - 1;\, - 1} \right)\).

Gọi \(H\left( { - 2 + 2t;\, - 1 - 3t;\,t} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d\).

\[\overrightarrow {IH} \left( { - 4 + 2t;\, - 3t;\,t + 1} \right)\]

Véc tơ chỉ phương của  \(d\) là \(\overrightarrow u \left( {2;\, - 3;\,1} \right)\)

\(\overrightarrow {IH}  \bot \overrightarrow u  \Leftrightarrow 2\left( { - 4 + 2t} \right) - 3\,\left( { - 3t} \right) + 1\,\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)

\[H\left( { - 1;\, - \frac{5}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\]\[ \Rightarrow a =  - 1;\,b =  - \frac{5}{2};\,c = \frac{1}{2} \Rightarrow b =  - 5c\]. Sai

b)

Vì \(A,\,B\) tương ứng là tiếp điểm của tấm gỗ, sàn nhà với quả bóng và \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(IA \bot d,\,IB \bot d\)

\[H\left( { - 1;\, - \frac{5}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\] là hình chiếu vuông góc của \[I\]lên \[d\]

\[IA = R = 2,\,IH = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1,5} \right)}^2} + {{\left( {1,5} \right)}^2}}  = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]

.

Xét \[\Delta IAH\] vuông tại \[A\]

\[cos\frac{\alpha }{2} = cos\widehat {AIH} = \frac{R}{{IH}} = \frac{2}{{\frac{{3\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{4}{{3\sqrt 6 }} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} \simeq {57^0} \Rightarrow \alpha  \simeq {114^0} \simeq 1,99\,rad\].

Do đó . Đúng

c) Phương trình tham số của \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t\\y =  - 1 - 3t\\z = t\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R} \Rightarrow K \in d\), toạ độ \(K\left( { - 2 + 2t;\, - 1 - 3t;\,t} \right)\). Đúng

d) Ta có mặt cầu  \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\) bán kính \(R = 2\) và tâm \(I\left( {2;\, - 1; - \,1} \right)\). Sai