Từ một tấm bìa lục giác đều cạnh bằng \(10\), bạn Hoa muốn làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ phần tô đậm và dán các mép lại với nhau (các mối ghép nối có kích thước không đáng kể, tham khảo hình vẽ). Để thể tích khối chóp lục giác đều tạo thành lớn nhất thì phần diện tích bạn Hoa cắt đi là bao nhiêu? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

                             

Đáp án: 363

Số cách chọn 4 đỉnh ngẫu nhiên từ 26 đỉnh của đa giác đều là \(n\left( \Omega  \right) = C_{26}^4 = 14950\)

Gọi \(A\): "tứ giác được chọn có bốn đỉnh là đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của \((H)\)".

Gọi các đỉnh của đa giác đều lần lượt là \({A_1},{A_2},...,{A_{26}}\).

Xét tứ giác thỏa mãn điều kiện đề bài có đỉnh \({A_1}\), khi đó \({A_2}\) và \({A_{26}}\) không phải là đỉnh của tứ giác này. Ta cần chọn thêm các đỉnh \({A_i},{A_j},{A_k}\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{i \ge 3}\\{i + 1 < j}\\{j + 1 < k}\\{k \le 25}\end{array}} \right.\) (vì giữa hai đỉnh của tứ giác phải có ít nhất 1 đỉnh của đa giác).

Từ đó \(3 \le i < j - 1 < k - 2 \le 23\), nên bộ \((i,j - 1,k - 2)\) được chọn bằng cách chọn 3 số từ tập \(\{ 3;4;5;...;23\} \), có \(C_{21}^3\) cách chọn.

Các đỉnh \({A_1},{A_i},{A_j},{A_k}\) có vai trò như nhau, ở đây ta đang cố định đỉnh \({A_1}\) nên khi đếm như vậy tới khi cố định hết 26 đỉnh của đa giác, mỗi tứ giác đã đếm lại 4 lần. Do đó số tứ giác thỏa mãn là: \(\frac{{26.C_{21}^3}}{4} = 8645\). Xác suất cần tính: \(P = \frac{{8645}}{{14950}} = \frac{{123}}{{230}}\).

\( \Rightarrow Q = a + b = 133 + 230 = 363\).

Cách 2:

Số cách chọn 4 đỉnh ngẫu nhiên từ 26 đỉnh của đa giác đều là \(n\left( \Omega  \right) = C_{26}^4 = 14950\)

Số cách chọn \[k\] đỉnh không kề nhau trên đa giác \[n\] đỉnh là \(\frac{n}{{n - k}}C_{n - k}^k = \frac{{26}}{{26 - 4}}C_{26 - 4}^4 = 8645\)

Vậy xác suất để chọn được tứ giác thỏa yêu cầu đề bài là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{8645}}{{14950}} = \frac{{133}}{{230}}\)

\( \Rightarrow Q = a + b = 133 + 230 = 363\).

Đáp án: 972 

Bước 1: Tính chiều cao của hình chóp cụt (\(h\))

Gọi \({R_1} = IC\) và \({R_2} = JF\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy lớn và đáy nhỏ.

·           \({R_1} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{12\sqrt 2 }}{2} = 6\sqrt 2 \) (dm)

·           \({R_2} = \frac{{b\sqrt 2 }}{2} = \frac{{8\sqrt 2 }}{2} = 4\sqrt 2 \) (dm)

Kẻ đường cao \(CK\) từ một đỉnh của đáy lớn xuống mặt phẳng đáy nhỏ. Khi đó, ta có một tam giác vuông với cạnh huyền là cạnh bên \(l = CF\), một cạnh góc vuông là chiều cao \(h = CK\), và cạnh góc vuông còn lại có độ dài bằng hiệu hai bán kính \(FK = {R_1} - {R_2}\).

Áp dụng định lý Pytago, ta có:

\(h = \sqrt {{l^2} - {{\left( {{R_1} - {R_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {100 - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt {100 - 8}  = \sqrt {92}  = 2\sqrt {23} {\rm{\;(dm)}}\).

Bước 2: Tính diện tích hai mặt đáy

·           Diện tích miệng thùng (đáy lớn): \({S_1} = {a^2} = {12^2} = 144{\rm{\;(d}}{{\rm{m}}^2})\)

·           Diện tích đáy thùng (đáy nhỏ): \({S_2} = {b^2} = {8^2} = 64{\rm{\;(d}}{{\rm{m}}^2})\)

Bước 3: Tính thể tích thùng rác (\(V\))

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp cụt đều:

    \(V = \frac{1}{3}h\left( {{S_1} + {S_2} + \sqrt {{S_1}{S_2}} } \right)\)

Trước tiên, tính phần căn bậc hai của tích hai diện tích:

\(\sqrt {{S_1}{S_2}}  = \sqrt {144 \times 64}  = 12 \times 8 = 96{\rm{\;(d}}{{\rm{m}}^2})\)

Thể tích của thùng đựng rác là \(V = \frac{1}{3} \times 2\sqrt {23}  \times \left( {144 + 64 + 96} \right){\rm{\;}} \approx 972{\rm{\;(d}}{{\rm{m}}^3})\)