Từ một tấm bìa lục giác đều cạnh bằng \(10\), bạn Hoa muốn làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ phần tô đậm và dán các mép lại với nhau (các mối ghép nối có kích thước không đáng kể, tham khảo hình vẽ). Để thể tích khối chóp lục giác đều tạo thành lớn nhất thì phần diện tích bạn Hoa cắt đi là bao nhiêu? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

                             

a) Điểm \(I\left( {2;\, - 1;\, - 1} \right)\).

Gọi \(H\left( { - 2 + 2t;\, - 1 - 3t;\,t} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d\).

\[\overrightarrow {IH} \left( { - 4 + 2t;\, - 3t;\,t + 1} \right)\]

Véc tơ chỉ phương của  \(d\) là \(\overrightarrow u \left( {2;\, - 3;\,1} \right)\)

\(\overrightarrow {IH}  \bot \overrightarrow u  \Leftrightarrow 2\left( { - 4 + 2t} \right) - 3\,\left( { - 3t} \right) + 1\,\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)

\[H\left( { - 1;\, - \frac{5}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\]\[ \Rightarrow a =  - 1;\,b =  - \frac{5}{2};\,c = \frac{1}{2} \Rightarrow b =  - 5c\]. Sai

b)

Vì \(A,\,B\) tương ứng là tiếp điểm của tấm gỗ, sàn nhà với quả bóng và \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(IA \bot d,\,IB \bot d\)

\[H\left( { - 1;\, - \frac{5}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\] là hình chiếu vuông góc của \[I\]lên \[d\]

\[IA = R = 2,\,IH = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1,5} \right)}^2} + {{\left( {1,5} \right)}^2}}  = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]

.

Xét \[\Delta IAH\] vuông tại \[A\]

\[cos\frac{\alpha }{2} = cos\widehat {AIH} = \frac{R}{{IH}} = \frac{2}{{\frac{{3\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{4}{{3\sqrt 6 }} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} \simeq {57^0} \Rightarrow \alpha  \simeq {114^0} \simeq 1,99\,rad\].

Do đó . Đúng

c) Phương trình tham số của \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t\\y =  - 1 - 3t\\z = t\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R} \Rightarrow K \in d\), toạ độ \(K\left( { - 2 + 2t;\, - 1 - 3t;\,t} \right)\). Đúng

d) Ta có mặt cầu  \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\) bán kính \(R = 2\) và tâm \(I\left( {2;\, - 1; - \,1} \right)\). Sai

a) Gọi sau \(t\) phút ta có thể tích nước trong thùng là \(2000 + 50t\) (lít).

Khi đó khối lượng đường là \(5000 + 1000t\) (gam).

Nồng độ đường trong thùng sau \(t\) phút là \(f\left( t \right) = \frac{{1000t + 5000}}{{50t + 2000}}\).

Khi \(t \to  + \infty \) ta có \(f\left( t \right) \to 20\) (gam/lít).

Vậy với tiêu chuẩn này nhà máy có thể sản xuất trong thời gian dài.

Chọn Sai.

b) Nồng độ đường trong thùng sau \(t\) phút là \(f\left( t \right) = \frac{{1000t + 5000}}{{50t + 2000}}\) (gam/lít).

Chọn Đúng.

c) Khối lượng đường trong thùng sau \(t\) phút là \(5000 + 1000t\) (gam).

Chọn Đúng.

d) Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{1000t + 5000}}{{50t + 2000}}\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{1750000}}{{{{\left( {50t + 2000} \right)}^2}}} > 0\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right)\).

Hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) nên nồng độ đường trong thùng luôn tăng khi sản xuất trong thời gian dài.

Chọn Đúng.