Người ta muốn lát kín một bảng ô vuông kích thước \(2 \times 17\) (2 hàng 17 cột) bằng các tấm bìa kích thước \(1 \times 2\) và \(1 \times 3\) sao cho các tấm bìa không được chồng lên nhau hay phủ ra ngoài bảng. Có bao nhiêu cách lát nếu ta được phép xoay các tấm bìa nhưng cạnh dài của tất cả các tấm bìa đều phải song song với nhau (số lượng mỗi loại tấm bìa không hạn chế)?

Đáp án: 156

Đặt \(AB = x\)(\(0 < x < 10\)).

Ta có :    \(SO = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 \).

Suy ra \(SH = SO - OH = 5\sqrt 3  - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\).

Chiều cao khối chóp \(h = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 3  - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {75 - 15x} \).

Thể tích khối chóp là : \(V = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \sqrt {75 - 15x} \)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {75{x^4} - 15{x^5}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 75{x^4} - 15{x^5}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 300{x^3} - 75{x^4} = 75{x^3}\left( {4 - x} \right)\).

Ta có:  \(f'{\kern 1pt} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\).

Vậy thể tích lớn nhất khi cạnh \(AB = 4\) suy ra diện tích bạn Hoa cắt đi là

\(S = 6\frac{{{{10}^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left( {5\sqrt 3  - 2\sqrt 3 } \right) = 155,88\).

a) Điểm \(I\left( {2;\, - 1;\, - 1} \right)\).

Gọi \(H\left( { - 2 + 2t;\, - 1 - 3t;\,t} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d\).

\[\overrightarrow {IH} \left( { - 4 + 2t;\, - 3t;\,t + 1} \right)\]

Véc tơ chỉ phương của  \(d\) là \(\overrightarrow u \left( {2;\, - 3;\,1} \right)\)

\(\overrightarrow {IH}  \bot \overrightarrow u  \Leftrightarrow 2\left( { - 4 + 2t} \right) - 3\,\left( { - 3t} \right) + 1\,\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)

\[H\left( { - 1;\, - \frac{5}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\]\[ \Rightarrow a =  - 1;\,b =  - \frac{5}{2};\,c = \frac{1}{2} \Rightarrow b =  - 5c\]. Sai

b)

Vì \(A,\,B\) tương ứng là tiếp điểm của tấm gỗ, sàn nhà với quả bóng và \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(IA \bot d,\,IB \bot d\)

\[H\left( { - 1;\, - \frac{5}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\] là hình chiếu vuông góc của \[I\]lên \[d\]

\[IA = R = 2,\,IH = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1,5} \right)}^2} + {{\left( {1,5} \right)}^2}}  = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]

.

Xét \[\Delta IAH\] vuông tại \[A\]

\[cos\frac{\alpha }{2} = cos\widehat {AIH} = \frac{R}{{IH}} = \frac{2}{{\frac{{3\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{4}{{3\sqrt 6 }} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} \simeq {57^0} \Rightarrow \alpha  \simeq {114^0} \simeq 1,99\,rad\].

Do đó . Đúng

c) Phương trình tham số của \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t\\y =  - 1 - 3t\\z = t\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R} \Rightarrow K \in d\), toạ độ \(K\left( { - 2 + 2t;\, - 1 - 3t;\,t} \right)\). Đúng

d) Ta có mặt cầu  \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\) bán kính \(R = 2\) và tâm \(I\left( {2;\, - 1; - \,1} \right)\). Sai