Một hệ thống y tế sử dụng AI để chẩn đoán bệnh dựa trên ảnh chụp X-quang. Biết tỉ lệ người mắc bệnh thực sự trong tập mẫu là 15%. Nếu một người có bệnh, AI nhận diện đúng với xác suất 90%. Nếu một người không có bệnh, AI nhận diện sai (báo có bệnh) với xác suất 5%.

Đáp án: 38

Bước 1: Phân tích các khả năng của mỗi lần thử.

Gọi \(X\) là số ghi trên thẻ lấy ra. Có 3 trường hợp xảy ra sau mỗi lần thử:

Trường hợp 1 (\({T_1}\)): Lấy trúng thẻ số 1. Xác suất \({P_1} = \frac{1}{4}\). Kết quả: Thêm 1 bóng trắng (0 bóng đen). Số bóng tăng thêm là 1.

Trường hợp 2 (\({T_2}\)): Lấy trúng thẻ số 2 hoặc 3. Xác suất \({P_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Kết quả: Thêm 1 bóng trắng + 1 bóng đen. Số bóng tăng thêm là 2.

Trường hợp 3 (\({T_3}\)): Lấy trúng thẻ số 4. Xác suất \({P_3} = \frac{1}{4}\). Kết quả: Thêm 2 bóng trắng + 1 bóng đen. Số bóng tăng thêm là 3.

Bước 2: Tìm các kịch bản sau 4 lần thử để hộp \(B\) có đúng 8 quả bóng.

Gọi \({n_1},{n_2},{n_3}\) lần lượt là số lần các trường hợp \({T_1},{T_2},{T_3}\) xảy ra sau 4 lần thử (\({n_1} + {n_2} + {n_3} = 4\)).

Tổng số bóng trong hộp \(B\) là: \(1 \cdot {n_1} + 2 \cdot {n_2} + 3 \cdot {n_3} = 8\).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{n_1} + {n_2} + {n_3} = 4}\\{{n_1} + 2{n_2} + 3{n_3} = 8}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{n_2} + 2{n_3} = 4}\\{{n_1} = 4 - {n_2} - {n_3}}\end{array}} \right.\)

Các bộ số \(({n_1},{n_2},{n_3})\) thỏa mãn là:

Kịch bản 1 (KB1): \({n_3} = 0 \Rightarrow {n_2} = 4,{n_1} = 0\). (Xảy ra \({T_2}\) cả 4 lần).

Kịch bản 2 (KB2): \({n_3} = 1 \Rightarrow {n_2} = 2,{n_1} = 1\). (Xảy ra \({T_1}\) 1 lần, \({T_2}\) 2 lần, \({T_3}\) 1 lần).

Kịch bản 3 (KB3): \({n_3} = 2 \Rightarrow {n_2} = 0,{n_1} = 2\). (Xảy ra \({T_1}\) 2 lần, \({T_3}\) 2 lần).

Bước 3: Tính xác suất cho điều kiện S "Số bóng trong hộp \(B\) là 8".

KB1: \(P(S \cap {\rm{KB1}}) = C_4^4 \cdot {(\frac{1}{2})^4} = \frac{1}{{16}}\).

KB2: \(P(S \cap {\rm{KB2}}) = \frac{{4!}}{{1!2!1!}} \cdot {(\frac{1}{4})^1} \cdot {(\frac{1}{2})^2} \cdot {(\frac{1}{4})^1} = 12 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{{12}}{{64}} = \frac{3}{{16}}\).

KB3: \(P(S \cap {\rm{KB3}}) = C_4^2 \cdot {(\frac{1}{4})^2} \cdot {(\frac{1}{4})^2} = 6 \cdot \frac{1}{{256}} = \frac{3}{{128}}\).

Tổng xác suất mẫu số: \(P(S) = \frac{1}{{16}} + \frac{3}{{16}} + \frac{3}{{128}} = \frac{{8 + 24 + 3}}{{128}} = \frac{{35}}{{128}}\).

Bước 4: Tính xác suất để có đúng 2 quả bóng đen trong hộp \(B\) (trong điều kiện tổng 8 bóng).

Số bóng đen sau 4 lần thử là \({n_{black}} = 0 \cdot {n_1} + 1 \cdot {n_2} + 1 \cdot {n_3} = {n_2} + {n_3}\).

KB1: \({n_2} + {n_3} = 4 + 0 = 4\) (Loại).

KB2: \({n_2} + {n_3} = 2 + 1 = 3\) (Loại).

KB3: \({n_2} + {n_3} = 0 + 2 = 2\) (Thỏa mãn).

Vậy chỉ có Kịch bản 3 cho kết quả 2 bóng đen.

Xác suất cần tìm là: \(P = \frac{{P(S \cap {\rm{KB3}})}}{{P(S)}} = \frac{{3/128}}{{35/128}} = \frac{3}{{35}}\).

Bước 5: Kết luận.

Ta có \(\frac{a}{b} = \frac{3}{{35}}\) (đã tối giản) \( \Rightarrow a = 3,b = 35\).

Vậy \(a + b = 3 + 35 = 38\).

a) Ta có mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;3; - 7} \right)\), bán kính \(R = 4\)

Ta thấy \(I \notin \left( P \right)\) nên lớp đá mỏng \(\left( P \right)\) chia túi khí \(\left( S \right)\) thành hai phần không bằng nhau.

Chọn Sai.

b) Quỹ đạo của mũi khoan được mô tả bởi một phần đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 8} \right)\) nên có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 8}}\)

Chọn Đúng.

c) Ta có phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 1 - 8t\end{array} \right.\)

Ta tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \(\left( S \right)\):

Xét phương trình theo tham số \(t\):

\({\left( {1 + t - 2} \right)^2} + {\left( {2 + t - 3} \right)^2} + {\left( {1 - 8t + 7} \right)^2} = 16\)

\( \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {8 - 8t} \right)^2} = 16\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} \\t = 1 - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} \end{array} \right.\)

Là hai điểm \(A\left( {2 + \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ;3 + \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ; - 7 - 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)\), \(B\left( {2 - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ;3 - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ; - 7 + 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)\)

Khoảng cách \(A{B^2} = {\left( {\left( { - 2} \right)\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - 2\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( {16\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2}\)\( = 64\) suy ra \(AB = 8\) nên độ dài đoạn đường ống bằng \(8.10 = 80\,{\rm{m}}\)

Chọn Đúng.

d) Ta tính khoảng cách từ điểm \(K\left( {2;3;5} \right)\) đến hai giao điểm của mũi khoan và túi khí \(\left( S \right)\).

Ta có \(K{A^2} = {\left( {\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - 12 - 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2}\) suy ra \(KA \approx 16\).

Ta có \(K{B^2} = {\left( { - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - 12 + 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2}\) suy ra \(KB \approx 8\) nên điểm mũi khoan chạm vào túi khí có tín hiệu địa chấn mạnh nhất là điểm \(B\) và khoảng cách từ trạm quan trắc địa chấn đến \(B\) là \(KB\)\( = 80\,{\rm{m}}\).

Chọn Sai.