Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5. Hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng \(\frac{{15}}{4}\). Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 38

Bước 1: Phân tích các khả năng của mỗi lần thử.

Gọi \(X\) là số ghi trên thẻ lấy ra. Có 3 trường hợp xảy ra sau mỗi lần thử:

Trường hợp 1 (\({T_1}\)): Lấy trúng thẻ số 1. Xác suất \({P_1} = \frac{1}{4}\). Kết quả: Thêm 1 bóng trắng (0 bóng đen). Số bóng tăng thêm là 1.

Trường hợp 2 (\({T_2}\)): Lấy trúng thẻ số 2 hoặc 3. Xác suất \({P_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Kết quả: Thêm 1 bóng trắng + 1 bóng đen. Số bóng tăng thêm là 2.

Trường hợp 3 (\({T_3}\)): Lấy trúng thẻ số 4. Xác suất \({P_3} = \frac{1}{4}\). Kết quả: Thêm 2 bóng trắng + 1 bóng đen. Số bóng tăng thêm là 3.

Bước 2: Tìm các kịch bản sau 4 lần thử để hộp \(B\) có đúng 8 quả bóng.

Gọi \({n_1},{n_2},{n_3}\) lần lượt là số lần các trường hợp \({T_1},{T_2},{T_3}\) xảy ra sau 4 lần thử (\({n_1} + {n_2} + {n_3} = 4\)).

Tổng số bóng trong hộp \(B\) là: \(1 \cdot {n_1} + 2 \cdot {n_2} + 3 \cdot {n_3} = 8\).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{n_1} + {n_2} + {n_3} = 4}\\{{n_1} + 2{n_2} + 3{n_3} = 8}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{n_2} + 2{n_3} = 4}\\{{n_1} = 4 - {n_2} - {n_3}}\end{array}} \right.\)

Các bộ số \(({n_1},{n_2},{n_3})\) thỏa mãn là:

Kịch bản 1 (KB1): \({n_3} = 0 \Rightarrow {n_2} = 4,{n_1} = 0\). (Xảy ra \({T_2}\) cả 4 lần).

Kịch bản 2 (KB2): \({n_3} = 1 \Rightarrow {n_2} = 2,{n_1} = 1\). (Xảy ra \({T_1}\) 1 lần, \({T_2}\) 2 lần, \({T_3}\) 1 lần).

Kịch bản 3 (KB3): \({n_3} = 2 \Rightarrow {n_2} = 0,{n_1} = 2\). (Xảy ra \({T_1}\) 2 lần, \({T_3}\) 2 lần).

Bước 3: Tính xác suất cho điều kiện S "Số bóng trong hộp \(B\) là 8".

KB1: \(P(S \cap {\rm{KB1}}) = C_4^4 \cdot {(\frac{1}{2})^4} = \frac{1}{{16}}\).

KB2: \(P(S \cap {\rm{KB2}}) = \frac{{4!}}{{1!2!1!}} \cdot {(\frac{1}{4})^1} \cdot {(\frac{1}{2})^2} \cdot {(\frac{1}{4})^1} = 12 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{{12}}{{64}} = \frac{3}{{16}}\).

KB3: \(P(S \cap {\rm{KB3}}) = C_4^2 \cdot {(\frac{1}{4})^2} \cdot {(\frac{1}{4})^2} = 6 \cdot \frac{1}{{256}} = \frac{3}{{128}}\).

Tổng xác suất mẫu số: \(P(S) = \frac{1}{{16}} + \frac{3}{{16}} + \frac{3}{{128}} = \frac{{8 + 24 + 3}}{{128}} = \frac{{35}}{{128}}\).

Bước 4: Tính xác suất để có đúng 2 quả bóng đen trong hộp \(B\) (trong điều kiện tổng 8 bóng).

Số bóng đen sau 4 lần thử là \({n_{black}} = 0 \cdot {n_1} + 1 \cdot {n_2} + 1 \cdot {n_3} = {n_2} + {n_3}\).

KB1: \({n_2} + {n_3} = 4 + 0 = 4\) (Loại).

KB2: \({n_2} + {n_3} = 2 + 1 = 3\) (Loại).

KB3: \({n_2} + {n_3} = 0 + 2 = 2\) (Thỏa mãn).

Vậy chỉ có Kịch bản 3 cho kết quả 2 bóng đen.

Xác suất cần tìm là: \(P = \frac{{P(S \cap {\rm{KB3}})}}{{P(S)}} = \frac{{3/128}}{{35/128}} = \frac{3}{{35}}\).

Bước 5: Kết luận.

Ta có \(\frac{a}{b} = \frac{3}{{35}}\) (đã tối giản) \( \Rightarrow a = 3,b = 35\).

Vậy \(a + b = 3 + 35 = 38\).

Đáp án: 6118

Theo đề các ô A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Gọi d là công sai CSC \(d \in \mathbb{N}*\)

\({x_1} = A,{x_3} = A + d,{x_6} = A + 2d,{x_{10}} = A + 3d\)

Giữa \({x_1}\) và \({x_3}\) có 1 số nên \(d \ge 2\)

Giữa \({x_3}\) và \({x_6}\) có 2 số nên \(d \ge 3\)

Giữa \({x_6}\) và \({x_{10}}\) có 3 số nên \(d \ge 4\)

Suy ra \(d \ge 4\)

Vì các số thuộc từ 1; 2; 3; …; 25; 26 nên\(1 \le {x_1} < {x_{10}} \le 26\)

\( \Rightarrow {x_1} + 3d \le 26 \Rightarrow 1 + 3d \le 26 \Rightarrow 3d \le 25 \Rightarrow d \le 8\) Vậy \(d \in \left\{ {4,5,6,7,8} \right\}\)

Với mỗi giá trị d cố định, số cách chọn \({x_1}\) là \(26 - 3d\)

Số cách chọn các số trung gian là

Chọn \({x_2}:C_{d - 1}^1\)

Chọn \({x_4},{x_5}:C_{d - 1}^2\)

Chọn \({x_7},{x_8},{x_9}:C_{d - 1}^3\)

Suy ra số cách chọn ứng với mỗi \(d\) là \(\left( {26 - 3d} \right)C_{d - 1}^1C_{d - 1}^2C_{d - 1}^3\)

Tổng số cách chọn là \(T = 14.3.3.1 + 11.4.6.4 + 3.5.10.10 + 5.6.15.20 + 2.7.21.35 = 24472\).

Suy ra \(\frac{T}{4} = 6118\).