Một học sinh mở tiệm online chuyên kinh doanh hai mặt hàng: Gấu bông len cỡ lớn và Túi len (phụ kiện). Để móc hoàn thiện một chiếc Gấu bông len cỡ lớn, bạn ấy cần 6 giờ. Để móc hoàn thiện một chiếc Túi len, bạn ấy cần 4 giờ.

Vì bận lịch học, mỗi tuần bạn ấy chỉ có tối đa 36 giờ để làm đồ len. Để đảm bảo gian hàng đa dạng, bạn ấy đặt ra quy tắc: số lượng Túi len làm ra không được nhiều hơn số Gấu bông len quá 1 cái. Đồng thời, do nguồn nguyên liệu len nhập về có hạn, tổng số sản phẩm cả hai loại bạn ấy có thể làm trong một tuần tối đa là 7 cái. Biết rằng mỗi chiếc Gấu bông len mang lại lợi nhuận 180 nghìn đồng, và mỗi chiếc Túi len mang lại lợi nhuận 140 nghìn đồng.

Gọi \(x\)và \(y\)lần lượt là số Túi len và số Gấu bông len mà bạn học sinh làm được trong một tuần (\(x,y \ge 0\) và là số nguyên). Số tiền lãi lớn nhất mà bạn học sinh này có thể thu được trong một tuần là bao nhiêu nghìn đồng?

Đáp án: 38

Bước 1: Phân tích các khả năng của mỗi lần thử.

Gọi \(X\) là số ghi trên thẻ lấy ra. Có 3 trường hợp xảy ra sau mỗi lần thử:

Trường hợp 1 (\({T_1}\)): Lấy trúng thẻ số 1. Xác suất \({P_1} = \frac{1}{4}\). Kết quả: Thêm 1 bóng trắng (0 bóng đen). Số bóng tăng thêm là 1.

Trường hợp 2 (\({T_2}\)): Lấy trúng thẻ số 2 hoặc 3. Xác suất \({P_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Kết quả: Thêm 1 bóng trắng + 1 bóng đen. Số bóng tăng thêm là 2.

Trường hợp 3 (\({T_3}\)): Lấy trúng thẻ số 4. Xác suất \({P_3} = \frac{1}{4}\). Kết quả: Thêm 2 bóng trắng + 1 bóng đen. Số bóng tăng thêm là 3.

Bước 2: Tìm các kịch bản sau 4 lần thử để hộp \(B\) có đúng 8 quả bóng.

Gọi \({n_1},{n_2},{n_3}\) lần lượt là số lần các trường hợp \({T_1},{T_2},{T_3}\) xảy ra sau 4 lần thử (\({n_1} + {n_2} + {n_3} = 4\)).

Tổng số bóng trong hộp \(B\) là: \(1 \cdot {n_1} + 2 \cdot {n_2} + 3 \cdot {n_3} = 8\).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{n_1} + {n_2} + {n_3} = 4}\\{{n_1} + 2{n_2} + 3{n_3} = 8}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{n_2} + 2{n_3} = 4}\\{{n_1} = 4 - {n_2} - {n_3}}\end{array}} \right.\)

Các bộ số \(({n_1},{n_2},{n_3})\) thỏa mãn là:

Kịch bản 1 (KB1): \({n_3} = 0 \Rightarrow {n_2} = 4,{n_1} = 0\). (Xảy ra \({T_2}\) cả 4 lần).

Kịch bản 2 (KB2): \({n_3} = 1 \Rightarrow {n_2} = 2,{n_1} = 1\). (Xảy ra \({T_1}\) 1 lần, \({T_2}\) 2 lần, \({T_3}\) 1 lần).

Kịch bản 3 (KB3): \({n_3} = 2 \Rightarrow {n_2} = 0,{n_1} = 2\). (Xảy ra \({T_1}\) 2 lần, \({T_3}\) 2 lần).

Bước 3: Tính xác suất cho điều kiện S "Số bóng trong hộp \(B\) là 8".

KB1: \(P(S \cap {\rm{KB1}}) = C_4^4 \cdot {(\frac{1}{2})^4} = \frac{1}{{16}}\).

KB2: \(P(S \cap {\rm{KB2}}) = \frac{{4!}}{{1!2!1!}} \cdot {(\frac{1}{4})^1} \cdot {(\frac{1}{2})^2} \cdot {(\frac{1}{4})^1} = 12 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{{12}}{{64}} = \frac{3}{{16}}\).

KB3: \(P(S \cap {\rm{KB3}}) = C_4^2 \cdot {(\frac{1}{4})^2} \cdot {(\frac{1}{4})^2} = 6 \cdot \frac{1}{{256}} = \frac{3}{{128}}\).

Tổng xác suất mẫu số: \(P(S) = \frac{1}{{16}} + \frac{3}{{16}} + \frac{3}{{128}} = \frac{{8 + 24 + 3}}{{128}} = \frac{{35}}{{128}}\).

Bước 4: Tính xác suất để có đúng 2 quả bóng đen trong hộp \(B\) (trong điều kiện tổng 8 bóng).

Số bóng đen sau 4 lần thử là \({n_{black}} = 0 \cdot {n_1} + 1 \cdot {n_2} + 1 \cdot {n_3} = {n_2} + {n_3}\).

KB1: \({n_2} + {n_3} = 4 + 0 = 4\) (Loại).

KB2: \({n_2} + {n_3} = 2 + 1 = 3\) (Loại).

KB3: \({n_2} + {n_3} = 0 + 2 = 2\) (Thỏa mãn).

Vậy chỉ có Kịch bản 3 cho kết quả 2 bóng đen.

Xác suất cần tìm là: \(P = \frac{{P(S \cap {\rm{KB3}})}}{{P(S)}} = \frac{{3/128}}{{35/128}} = \frac{3}{{35}}\).

Bước 5: Kết luận.

Ta có \(\frac{a}{b} = \frac{3}{{35}}\) (đã tối giản) \( \Rightarrow a = 3,b = 35\).

Vậy \(a + b = 3 + 35 = 38\).

Đáp án: 6118

Theo đề các ô A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Gọi d là công sai CSC \(d \in \mathbb{N}*\)

\({x_1} = A,{x_3} = A + d,{x_6} = A + 2d,{x_{10}} = A + 3d\)

Giữa \({x_1}\) và \({x_3}\) có 1 số nên \(d \ge 2\)

Giữa \({x_3}\) và \({x_6}\) có 2 số nên \(d \ge 3\)

Giữa \({x_6}\) và \({x_{10}}\) có 3 số nên \(d \ge 4\)

Suy ra \(d \ge 4\)

Vì các số thuộc từ 1; 2; 3; …; 25; 26 nên\(1 \le {x_1} < {x_{10}} \le 26\)

\( \Rightarrow {x_1} + 3d \le 26 \Rightarrow 1 + 3d \le 26 \Rightarrow 3d \le 25 \Rightarrow d \le 8\) Vậy \(d \in \left\{ {4,5,6,7,8} \right\}\)

Với mỗi giá trị d cố định, số cách chọn \({x_1}\) là \(26 - 3d\)

Số cách chọn các số trung gian là

Chọn \({x_2}:C_{d - 1}^1\)

Chọn \({x_4},{x_5}:C_{d - 1}^2\)

Chọn \({x_7},{x_8},{x_9}:C_{d - 1}^3\)

Suy ra số cách chọn ứng với mỗi \(d\) là \(\left( {26 - 3d} \right)C_{d - 1}^1C_{d - 1}^2C_{d - 1}^3\)

Tổng số cách chọn là \(T = 14.3.3.1 + 11.4.6.4 + 3.5.10.10 + 5.6.15.20 + 2.7.21.35 = 24472\).

Suy ra \(\frac{T}{4} = 6118\).