Nghề làm thùng gỗ sồi đựng rượu vang (đặc biệt là chuẩn thùng Barrique của vùng Bordeaux, Pháp) đòi hỏi sự tỉ mỉ và độ chính xác rất cao. Những chiếc thùng này không có dạng hình trụ thẳng đứng mà phình ra ở giữa. Thiết kế này giúp thợ ủ rượu dễ dàng lăn thùng và cặn rượu được gom lại ở phần rốn bụng. Theo tiêu chuẩn sản xuất, đường viền dọc thân thùng cong dạng một cung parabol.

Một xưởng gỗ chuẩn bị xuất xưởng một chiếc thùng có các thông số kỹ thuật được đo đạc cẩn thận. Nhiệm vụ đặt ra là phải tính toán dung tích thực tế của chiếc thùng này để dán nhãn chính xác trước khi đưa vào hầm ủ. Biết rằng thùng rượu vang có chiều cao \(90\)cm. Đường kính lớn nhất ở phần bụng thùng là \(62\)cm, trong khi đường kính ở hai mặt đáy của thùng là bằng nhau và bằng \(44\)cm. Hỏi thể tích của chiếc thùng đó bằng bao nhiêu lít? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Đáp án: 6118

Theo đề các ô A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Gọi d là công sai CSC \(d \in \mathbb{N}*\)

\({x_1} = A,{x_3} = A + d,{x_6} = A + 2d,{x_{10}} = A + 3d\)

Giữa \({x_1}\) và \({x_3}\) có 1 số nên \(d \ge 2\)

Giữa \({x_3}\) và \({x_6}\) có 2 số nên \(d \ge 3\)

Giữa \({x_6}\) và \({x_{10}}\) có 3 số nên \(d \ge 4\)

Suy ra \(d \ge 4\)

Vì các số thuộc từ 1; 2; 3; …; 25; 26 nên\(1 \le {x_1} < {x_{10}} \le 26\)

\( \Rightarrow {x_1} + 3d \le 26 \Rightarrow 1 + 3d \le 26 \Rightarrow 3d \le 25 \Rightarrow d \le 8\) Vậy \(d \in \left\{ {4,5,6,7,8} \right\}\)

Với mỗi giá trị d cố định, số cách chọn \({x_1}\) là \(26 - 3d\)

Số cách chọn các số trung gian là

Chọn \({x_2}:C_{d - 1}^1\)

Chọn \({x_4},{x_5}:C_{d - 1}^2\)

Chọn \({x_7},{x_8},{x_9}:C_{d - 1}^3\)

Suy ra số cách chọn ứng với mỗi \(d\) là \(\left( {26 - 3d} \right)C_{d - 1}^1C_{d - 1}^2C_{d - 1}^3\)

Tổng số cách chọn là \(T = 14.3.3.1 + 11.4.6.4 + 3.5.10.10 + 5.6.15.20 + 2.7.21.35 = 24472\).

Suy ra \(\frac{T}{4} = 6118\).

a) Ta có mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;3; - 7} \right)\), bán kính \(R = 4\)

Ta thấy \(I \notin \left( P \right)\) nên lớp đá mỏng \(\left( P \right)\) chia túi khí \(\left( S \right)\) thành hai phần không bằng nhau.

Chọn Sai.

b) Quỹ đạo của mũi khoan được mô tả bởi một phần đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 8} \right)\) nên có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 8}}\)

Chọn Đúng.

c) Ta có phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 1 - 8t\end{array} \right.\)

Ta tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \(\left( S \right)\):

Xét phương trình theo tham số \(t\):

\({\left( {1 + t - 2} \right)^2} + {\left( {2 + t - 3} \right)^2} + {\left( {1 - 8t + 7} \right)^2} = 16\)

\( \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {8 - 8t} \right)^2} = 16\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} \\t = 1 - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} \end{array} \right.\)

Là hai điểm \(A\left( {2 + \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ;3 + \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ; - 7 - 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)\), \(B\left( {2 - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ;3 - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ; - 7 + 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)\)

Khoảng cách \(A{B^2} = {\left( {\left( { - 2} \right)\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - 2\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( {16\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2}\)\( = 64\) suy ra \(AB = 8\) nên độ dài đoạn đường ống bằng \(8.10 = 80\,{\rm{m}}\)

Chọn Đúng.

d) Ta tính khoảng cách từ điểm \(K\left( {2;3;5} \right)\) đến hai giao điểm của mũi khoan và túi khí \(\left( S \right)\).

Ta có \(K{A^2} = {\left( {\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - 12 - 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2}\) suy ra \(KA \approx 16\).

Ta có \(K{B^2} = {\left( { - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - 12 + 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2}\) suy ra \(KB \approx 8\) nên điểm mũi khoan chạm vào túi khí có tín hiệu địa chấn mạnh nhất là điểm \(B\) và khoảng cách từ trạm quan trắc địa chấn đến \(B\) là \(KB\)\( = 80\,{\rm{m}}\).

Chọn Sai.