Cho một hình bát giác đều \(A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F,\,G,\,H\). Người ta gắn ngẫu nhiên vào \(8\) đỉnh này \(8\) số tự nhiên \(1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8\) (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có \(3\) đỉnh lấy từ \(8\) đỉnh của bát giác đã cho. Gọi \(P\) xác suất thu được một tam giác vuông với \(3\) số trên \(3\) đỉnh của tam giác đó lập thành một cấp số cộng. Biết \(P = \frac{m}{n}\,\) (\(\,\frac{m}{n}\) là phân số tối giản). Tính \(m + \,3n\).

Đáp án: 11,4.

Do tính đối xứng của hình vẽ qua trục tung \(Oy\), chúng ta có thể tính diện tích phần bên phải rồi nhân đôi.

·            Nhánh dưới: Gồm cung \[OP\] và\(PK\).

o     Cung \[OP\] (từ \(x = 0\)đến\(x = \sqrt {14} \)): \(y = h(x) = 0,13{x^2}\)

o     Cung \(PK\) (từ \(x = \sqrt {14} \) đến \(x = 6\)): \(y = g(x) = 0,1{x^2} + 0,41\)

·            Nhánh trên: Gồm các đoạn thẳng và cung\(FG\).

o     Đoạn\(EF\): Nằm trên đường thẳng hoành độ \(x = 0,35\). Điểm \(E\) có tung độ \(2,65\), điểm \(F\)thuộc \(f(x)\) nên có tung độ \(f(0,35) = 0,11{(0,35)^2} + 1 \approx 1,013\).

o     Cung \(FG\)(từ \(x = 0,35\) đến \(x = 5,7\)): \(y = f(x) = 0,11{x^2} + 1\)

o     Đoạn thẳng đứng \(GH\)(tại \(x = 5,7\)): Nối từ cung \(f(x)\) xuống cung \(g(x)\).

Diện tích cần tính là tổng của 3 phần chính bên phải trục:

·            Phần 1: Hình chữ nhật nhỏ ở giữa (giới hạn bởi \(x = 0\) đến \(x = 0,35\))

Được giới hạn trên bởi đoạn \(DE\)(\(y = 2,65\)) và giới hạn dưới bởi cung \(h(x)\).

\({S_1} = \int_0^{0,35} {(2,65 - 0,13{x^2})} {\rm{d}}x \approx 0,9256\)

·            Phần 2: Phần đường cong từ \(F\) đến \(P\) (giới hạn bởi \(x = 0,35\) đến \(x = \sqrt {14} \))

Giới hạn trên là \(f(x)\), giới hạn dưới là \(h(x)\).

\({S_2} = \int_{0,35}^{\sqrt {14} } {(0,11{x^2} + 1 - 0,13{x^2})} {\rm{d}}x = \int_{0,35}^{\sqrt {14} } {(1 - 0,02{x^2})} {\rm{d}}x \approx 3,0426\)

·            Phần 3: Phần đường cong từ \(P\) đến \(G\) (giới hạn bởi \(x = \sqrt {14} \) đến \(x = 5,7\))

Giới hạn trên là \(f(x)\), giới hạn dưới là \(g(x)\).

\({S_3} = \int_{\sqrt {14} }^{5,7} {(0,11{x^2} + 1 - (} 0,1{x^2} + 0,41)){\rm{d}}x = \int_{\sqrt {14} }^{5,7} {(0,01{x^2} + 0,59)} {\rm{d}}x \approx 1,5982\)

·            Phần 4: Từ \(x = 5,7\) đến \(x = 6\)

+ Tìm phương trình đường thẳng \(GK\)

Tọa độ điểm \(G\): \({x_G} = 5,7 \Rightarrow {y_G} = f(5,7) = 0,11{(5,7)^2} + 1 = 4,5739\). Vậy \(G(5,7;4,5739)\).

Tọa độ điểm \(K\): \({x_K} = 6 \Rightarrow {y_K} = g(6) = 0,1{(6)^2} + 0,41 = 4,01\). Vậy \(K(6;4,01)\).

Phương trình đường thẳng \(GK\)có dạng \(y = ax + b\):

Hệ số góc \(a = \frac{{{y_K} - {y_G}}}{{{x_K} - {x_G}}} = \frac{{4,01 - 4,5739}}{{6 - 5,7}} = \frac{{ - 0,5639}}{{0,3}} \approx  - 1,879667\).

Phương trình: \(y - 4,01 =  - 1,879667\left( {x - 6} \right) \Rightarrow {y_{GK}} =  - 1,879667x + 15,288\)

+ Tính \({S_4}\) (Phần giới hạn bởi đoạn \(GK\)và \(g(x)\) từ \(x = 5,7\) đến \(x = 6\)):

\(\begin{array}{l}{S_4} = \int_{5,7}^6 {({y_{GK}} - g(} x)){\rm{d}}x\\ = \int_{5,7}^6 {( - 1,879667x + 15,288 - (} 0,1{x^2} + 0,41)){\rm{d}}x\end{array}\)

\( = \int_{5,7}^6 {( - 0,1{x^2} - 1,879667x + 14,878)} {\rm{d}}x\)      \( \Rightarrow {S_4} \approx 48,234 - 48,0964 = 0,1376\)

+ Diện tích một nửa: \({S_h} = {S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4} \approx 0,92565 + 3,04279 + 1,59816 + 0,1376 = 5,7042\)

Vậy diện tích phần con đường được tô hình viên gạch là \(S = 2{S_h} = 2 \times 5,7042 = 11,4084 \approx 11,4\).

Đáp án: 12,5

Hàm số đã cho có dạng \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).

Đạo hàm của hàm số là \(f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(A\) có tung độ bằng \(5\) \( \Rightarrow f(0) = 5 \Rightarrow d = 5\).

Điểm \(B\left( {5;0} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Suy ra: \(f(5) = 0\) và \(f'(5) = 0\).

\(f(5) = 0\)\( \Rightarrow 125a + 25b + 5c + 5 = 0\) (1)

\(f'(5) = 0\)\( \Rightarrow 75a + 10b + c = 0\) (2)

Đồ thị đi qua điểm \(C\left( {15;\frac{1}{2}} \right)\). Ta có:  \(f(15) = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow 3375a + 225b + 15c + 5 = \frac{1}{2}\) (3)

Ta có hệ phương trình  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{25a + 5b + c =  - 1\quad (1)}\\{75a + 10b + c = 0\quad (2)}\\{3375a + 225b + 15c =  - \frac{9}{2}\quad (3)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{13}}{{1000}}\\b = \frac{{33}}{{100}}\\c =  - \frac{{93}}{{40}}\end{array} \right.\)

Vậy hàm số mô phỏng máng trượt là: \(f(x) =  - \frac{{13}}{{1000}}{x^3} + \frac{{33}}{{100}}{x^2} - \frac{{93}}{{40}}x + 5\).

Tiếp theo, ta tính chiều cao của các cột đỡ tại các hoành độ đã cho: \(1,5\); \(3\); \(7\); \(8,5\); \(10\); \(11,25\); \(12,5\); \(13,75\); \(15\).

Tổng chiều cao của các cột đỡ là:

\(h = f(1,5) + f(3) + f(7) + f(8,5) + f(10) + f(11,25) + f(12,5) + f(13,75) + f(15) = \frac{{7983}}{{640}}\)
\( \Rightarrow h \approx 12,5\).
Vậy tổng chiều cao của các cột đỡ theo tỉ lệ khoảng \(h \approx 12,5\).