Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức \(P'\left( x \right) = - 0,0008x + 10,4\). Ở đây \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm.

a) Sai. Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức \(P\left( x \right) =  - 0.0004{x^2} + 10,4x\).

\(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)} dx = \int {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)dx =  - 0.0004{x^2} + 10,4x + C} \).

Lợi nhuận ban đầu chưa có nên \(P\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).

Vậy \(P\left( x \right) =  - 0.0004{x^2} + 10,4x\).

b) Đúng. Lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.

Ta có \(P\left( {50} \right) =  - 0,{0004.50^2} + 10,4.50 = 519\) (triệu đồng).

c) Sai. Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(517\) triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(100\).

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\)  (\(a \in \mathbb{N}\))đơn vị sản phẩm là

\(\int\limits_{50}^a {P'\left( x \right)} dx = \int\limits_{50}^a {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} dx = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^a =  - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519\)triệu đồng.

Theo đề ta có

\( - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 > 517 \Leftrightarrow  - 0,0004{a^2} + 10,4a - 1036 > 0 \Leftrightarrow 100 < a < 25\,900\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(101\).

d) Sai. Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(51,79\) triệu đồng.

Ta có \(\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right)} dx = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} dx = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^{55} = 51,79\) triệu đồng.