Cho tứ diện \[ABCD\] có\[AB = CD = 2a\]. Gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm \[AD\] và \[BC\]. Biết \[MN = a\sqrt 3 \]. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng \[AB\] và \[CD\].

Đáp án: 1347

Lợi nhuận khi bán hết \(x\) sản phẩm với \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\;1 \le x \le 4500} \right)\) là:

\(L\left( x \right) = F\left( x \right) - x.G\left( x \right)\)\( =  - 0,01{x^2} + 450x - 30000 - 340x\)

\( \Rightarrow L\left( x \right) =  - 0,01{x^2} + 110x - 30000\) (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được lớn hơn \(100\) triệu đồng \( = 100000\) (nghìn đồng).

\( \Rightarrow L\left( x \right) > 100000\)\( \Leftrightarrow  - 0,01{x^2} + 110x - 30000 > 100000\).

\( \Leftrightarrow  - 0,01{x^2} + 110x - 130000 > 0\)\( \Leftrightarrow 1346,68... < x < 9653,31...\)

Giao với điều kiện \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\;1 \le x \le 4500} \right)\)\( \Rightarrow 1346,68... < x \le 4500\)\( \Rightarrow {x_{\min }} = 1347\) (sản phẩm)

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất \(1347\) (sản phẩm).

Đáp án: 48

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 10;AD = 12\) nên toạ độ điểm \(B\left( {10;0;0} \right);\,C\left( {10;12;0} \right)\)

Hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là trung điểm của \(BC\) nên toạ độ điểm \(I\left( {10;12;9} \right)\)

Khi đó: \(E\left( {0;0;7} \right),F\left( {10;0;7} \right),I\left( {10;12;9} \right)\)\[\overrightarrow {EF}  = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {EI}  = \left( {10;12;2} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {EFIK} \right)\] có vec tơ pháp tuyến \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EI} } \right] = \left( {0;1; - 6} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {EFIK} \right):y - 6z + 42 = 0\).Suy ra \(a - b + c = 48\).