1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + {z^3} = 3y}\\{{y^3} + {x^3} = 3z}\\{{z^3} + {y^3} = 3x}\end{array}} \right.\).

2) Cho hai số nguyên dương \(a,\,\,b\) phân biệt. Chứng minh phương trình sau có đúng ba nghiệm

\(\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left[ {{x^2} - 2\left( {a + b} \right)x + ab + 2} \right] = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Nhận xét: \(\left( {a + b} \right)\left( {2a - 2b + 1} \right) = {b^2}\) suy ra \(a \ge b\).

Giả sử ngược lại: \(a \ne b\) nên \(a > b\).

Ta có \(2{a^2} + a = b\left( {3b - 1} \right)\,\, \vdots \,\,b\).

Do \(b\) là số nguyên tố nên \(a\,\, \vdots \,\,b\) hoặc \(2a + 1\,\, \vdots \,\,b\).

TH1: Nếu \(a\,\, \vdots \,\,b\) suy ra \(a \ge 2b\).

Từ giả thiết \(3{b^2} - b = 2{a^2} + a \ge 8{b^2} + 2b\) (vô lí)

TH2: Nếu \(2a + 1\,\, \vdots \,\,b\). Do \(2a + 1\) lẻ nên \(2a + 1 = 3b\,;\,\,2a + 1 = 5b\,; \ldots \)

Mà ta lại nhận xét nếu \(2a + 1 \ge 7b\) thì \(a > b\) . Khi đó \(3{b^2} - b = 2{a^2} + a > 7{b^2}\) (vô lí).

Nếu \(2a + 1 = 3b\), thế vào phương trình: \(3b\frac{{3b - 1}}{2} = b(3b - 1)\) (loại).

Nếu \(2a + 1 = 5b\), thế vào phương trình: \(5b\frac{{5b - 1}}{2} = b(3b - 1)\) (loại).

b) Ta chứng minh \(a + b\) và \(2a - 2b + 1\) nguyên tố cùng nhau bằng phản chứng.

Giả sử ngược lại, gọi \[p\] là ước nguyên tố chung của chúng.

Từ \({b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {2a - 2b + 1} \right)\,\, \vdots \,\,{p^2}\) suy ra \(b\,\, \vdots \,\,p\) mà \(a + b\,\, \vdots \,\,p\) nên \(a\,\, \vdots \,\,p\) .

Do \(2a - 2b + 1\) cũng chia hết cho p nên \(1\,\, \vdots \,\,p\) (vô lí).

Do đó \(a + b\) và \(2a - 2b + 1\) nguyên tố cùng nhau.

Từ \(\left( {a + b} \right)\left( {2a - 2b + 1} \right) = {b^2}\), ta suy ra \(2a - 2b + 1\) là số chính phương.

Hướng dẫn giải

Ta có \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) nên \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = 2\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \ge 2ab\).

Suy ra \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3}}} + \frac{3}{{ab}} \le \frac{7}{{2ab}}\).

Ta lại có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right){\,^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = 8 - 6ab\).

Suy ra \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3}}} + \frac{3}{{ab}} = \frac{1}{{8 - 6ab}} + \frac{3}{{ab}}\).

Đặt \(t = ab\) nên \(t \in \left[ {0\,;\,\,1} \right]\).

Ta chứng minh \(\frac{1}{{8 - 6t}} + \frac{3}{t} \ge \frac{7}{2}\)

\(2\left( {24 - 17t} \right) \ge 7t\left( {8 - 6t} \right)\)

\(42{t^2} - 90t + 48 \ge 0\)

\(6\left( {t - 1} \right)\left( {7t - 8} \right) \ge 0\) (đúng vì \(t \in \left[ {0\,;\,\,1} \right]\))