Cho hai số tự nhiên \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(2{a^2} + a = 3{b^2} - b\).
a) Chứng minh rằng nếu \(b\) là số nguyên tố thì \(a = b\).
b) Chứng minh rằng \(2a - 2b + 1\) là số chính phương.
Cho hai số tự nhiên \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(2{a^2} + a = 3{b^2} - b\).
a) Chứng minh rằng nếu \(b\) là số nguyên tố thì \(a = b\).
b) Chứng minh rằng \(2a - 2b + 1\) là số chính phương.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Nhận xét: \(\left( {a + b} \right)\left( {2a - 2b + 1} \right) = {b^2}\) suy ra \(a \ge b\).
Giả sử ngược lại: \(a \ne b\) nên \(a > b\).
Ta có \(2{a^2} + a = b\left( {3b - 1} \right)\,\, \vdots \,\,b\).
Do \(b\) là số nguyên tố nên \(a\,\, \vdots \,\,b\) hoặc \(2a + 1\,\, \vdots \,\,b\).
TH1: Nếu \(a\,\, \vdots \,\,b\) suy ra \(a \ge 2b\).
Từ giả thiết \(3{b^2} - b = 2{a^2} + a \ge 8{b^2} + 2b\) (vô lí)
TH2: Nếu \(2a + 1\,\, \vdots \,\,b\). Do \(2a + 1\) lẻ nên \(2a + 1 = 3b\,;\,\,2a + 1 = 5b\,; \ldots \)
Mà ta lại nhận xét nếu \(2a + 1 \ge 7b\) thì \(a > b\) . Khi đó \(3{b^2} - b = 2{a^2} + a > 7{b^2}\) (vô lí).
Nếu \(2a + 1 = 3b\), thế vào phương trình: \(3b\frac{{3b - 1}}{2} = b(3b - 1)\) (loại).
Nếu \(2a + 1 = 5b\), thế vào phương trình: \(5b\frac{{5b - 1}}{2} = b(3b - 1)\) (loại).
b) Ta chứng minh \(a + b\) và \(2a - 2b + 1\) nguyên tố cùng nhau bằng phản chứng.
Giả sử ngược lại, gọi \[p\] là ước nguyên tố chung của chúng.
Từ \({b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {2a - 2b + 1} \right)\,\, \vdots \,\,{p^2}\) suy ra \(b\,\, \vdots \,\,p\) mà \(a + b\,\, \vdots \,\,p\) nên \(a\,\, \vdots \,\,p\) .
Do \(2a - 2b + 1\) cũng chia hết cho p nên \(1\,\, \vdots \,\,p\) (vô lí).
Do đó \(a + b\) và \(2a - 2b + 1\) nguyên tố cùng nhau.
Từ \(\left( {a + b} \right)\left( {2a - 2b + 1} \right) = {b^2}\), ta suy ra \(2a - 2b + 1\) là số chính phương.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + {z^3} = 3y}\\{{y^3} + {x^3} = 3z}\\{{z^3} + {y^3} = 3x}\end{array}} \right.\).
Lấy hiệu phương trình (1) và (2) vế theo vế ta được: \(\left( {y - z} \right)\left( {{y^2} + yz + {z^2} + 3} \right) = 0\).
Do \({y^2} + yz + {z^2} = {\left( {y + \frac{z}{2}} \right)^2} + \frac{{3{z^2}}}{4} \ge 0\) nên \(y = z\).
Tương tự, lấy hiệu phương trình (2) và (3) ta được \(x = z\).
Thế lại (1): \(2{x^3} = 3x\).
|
TH1: \(x = 0 = y = z\) |
TH2: \(x = \sqrt {\frac{3}{2}} = y = z\) |
TH3: \(x = - \sqrt {\frac{3}{2}} = y = z\). |
2) Điều kiện: \(x \ge 0\).
Phương trình trở thành: \(x = 1\) hoặc \({x^2} - 2\left( {a + b} \right)x + ab + 2 = 0\quad (*)\).
Xét phương trình \((*)\), ta có \(\Delta ' = {\left( {a + b} \right)^2} - ab - 2 = {a^2} + {b^2} + ab - 2 \ge 0\) (do \(a,\,\,b\) nguyên dương);
\(S = a + b > 0\,;\,\,P = ab + 2 > 0\).
Suy ra phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt dương.
Ta nhận xét tiếp phương trình \((*)\) không nhận \(x = 1\) là nghiệm.
Giả sử ngược lại, thế vào phương trình ta có:
\({1^2} - 2 \cdot \left( {a + b} \right) \cdot \,1 + ab + 2 = 0\)
\(\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right) = 1\)
\(a = b = 1\) hoặc \(a = b = 3\) (trái giả thuyết \(a,\,\,b\) phân biệt).
Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Hướng dẫn giải
Ta có \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) nên \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = 2\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \ge 2ab\).
Suy ra \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3}}} + \frac{3}{{ab}} \le \frac{7}{{2ab}}\).
Ta lại có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right){\,^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = 8 - 6ab\).
Suy ra \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3}}} + \frac{3}{{ab}} = \frac{1}{{8 - 6ab}} + \frac{3}{{ab}}\).
Đặt \(t = ab\) nên \(t \in \left[ {0\,;\,\,1} \right]\).
Ta chứng minh \(\frac{1}{{8 - 6t}} + \frac{3}{t} \ge \frac{7}{2}\)
\(2\left( {24 - 17t} \right) \ge 7t\left( {8 - 6t} \right)\)
\(42{t^2} - 90t + 48 \ge 0\)
\(6\left( {t - 1} \right)\left( {7t - 8} \right) \ge 0\) (đúng vì \(t \in \left[ {0\,;\,\,1} \right]\))
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập