Cho hai số tự nhiên \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(2{a^2} + a = 3{b^2} - b\).
a) Chứng minh rằng nếu \(b\) là số nguyên tố thì \(a = b\).
b) Chứng minh rằng \(2a - 2b + 1\) là số chính phương.
Cho hai số tự nhiên \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(2{a^2} + a = 3{b^2} - b\).
a) Chứng minh rằng nếu \(b\) là số nguyên tố thì \(a = b\).
b) Chứng minh rằng \(2a - 2b + 1\) là số chính phương.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Nhận xét: \(\left( {a + b} \right)\left( {2a - 2b + 1} \right) = {b^2}\) suy ra \(a \ge b\).
Giả sử ngược lại: \(a \ne b\) nên \(a > b\).
Ta có \(2{a^2} + a = b\left( {3b - 1} \right)\,\, \vdots \,\,b\).
Do \(b\) là số nguyên tố nên \(a\,\, \vdots \,\,b\) hoặc \(2a + 1\,\, \vdots \,\,b\).
TH1: Nếu \(a\,\, \vdots \,\,b\) suy ra \(a \ge 2b\).
Từ giả thiết \(3{b^2} - b = 2{a^2} + a \ge 8{b^2} + 2b\) (vô lí)
TH2: Nếu \(2a + 1\,\, \vdots \,\,b\). Do \(2a + 1\) lẻ nên \(2a + 1 = 3b\,;\,\,2a + 1 = 5b\,; \ldots \)
Mà ta lại nhận xét nếu \(2a + 1 \ge 7b\) thì \(a > b\) . Khi đó \(3{b^2} - b = 2{a^2} + a > 7{b^2}\) (vô lí).
Nếu \(2a + 1 = 3b\), thế vào phương trình: \(3b\frac{{3b - 1}}{2} = b(3b - 1)\) (loại).
Nếu \(2a + 1 = 5b\), thế vào phương trình: \(5b\frac{{5b - 1}}{2} = b(3b - 1)\) (loại).
b) Ta chứng minh \(a + b\) và \(2a - 2b + 1\) nguyên tố cùng nhau bằng phản chứng.
Giả sử ngược lại, gọi \[p\] là ước nguyên tố chung của chúng.
Từ \({b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {2a - 2b + 1} \right)\,\, \vdots \,\,{p^2}\) suy ra \(b\,\, \vdots \,\,p\) mà \(a + b\,\, \vdots \,\,p\) nên \(a\,\, \vdots \,\,p\) .
Do \(2a - 2b + 1\) cũng chia hết cho p nên \(1\,\, \vdots \,\,p\) (vô lí).
Do đó \(a + b\) và \(2a - 2b + 1\) nguyên tố cùng nhau.
Từ \(\left( {a + b} \right)\left( {2a - 2b + 1} \right) = {b^2}\), ta suy ra \(2a - 2b + 1\) là số chính phương.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Ta có \[BHDC\] là hình bình hành nên I là trung điểm HC.
Suy ra \(\Delta IKH = \Delta IEC\,\,{\rm{(g}}{\rm{.c}}{\rm{.g)}}\) nên \(CE = HK\) (hai cạnh tương ứng).
Do đó \(CEHK\) là hình bình hành.
Ta có \(IB \cdot IC = IA \cdot IE\).
Mà \(IB = IC\); \(IK = IE\) nên \(I{B^2} = IA \cdot IK\).
b) Từ giả thiết, suy ra \(EF\,{\rm{//}}\,BD\) nên \(OI \bot EF\), do đó \(IF = IE = IK\).
Suy ra \(\Delta KFE\) vuông tại \[F\] nên \[BD\] là trung trực \[KF\].
c) Từ \(I{B^2} = IA.IK\) suy ra suy ra \(\frac{{KB}}{{AB}} = \frac{{IB}}{{IA}}\).
Tương tự \(I{D^2} = IA.IK\) suy ra suy ra \(\frac{{KD}}{{AD}} = \frac{{ID}}{{IA}}\).
Do đó \(\frac{{KB}}{{AB}} = \frac{{KD}}{{AD}}\).
Gọi \[J\] là chân đường phân giác trong \[AJ\] của tam giác \[ABC.\]
Ta có \(\frac{{JB}}{{JD}} = \frac{{AB}}{{AD}}\) suy ra \(\frac{{KB}}{{KD}} = \frac{{JB}}{{JD}}\).
Suy ra \[KJ\] là phân giác \(\widehat {BKD}\) (đpcm).
d) Gọi \[L\] là giao điểm của \[AH\] và \[\left( O \right)\].
Suy ra \[L\] đối xứng với \[H\] qua \[BD\].
Mà \[K\] và \[F\] cũng đối xứng qua \[BD\] nên \[\left( {BHKD} \right)\] và \[\left( O \right)\] đối xứng qua \[BD\].
Gọi \[T'\] là tâm của đường tròn \[\left( {BHKD} \right)\] suy ra \[O\] và \[T'\] đối xứng qua \[BD\].
Mà \(OI \bot BD\) nên \[I\] là trung điểm \[OT'.\]
Do đó \[OHT'C\,\] là hình bình hành, suy ra \[HT'{\rm{ // }}OC.\]
Mà \(T'H = T'K\) nên \[T'\] thuộc trung trực \[HK\] suy ra \(T \equiv T'\).
Do tính đối xứng qua \[BD\] nên \[OKFT\] là hình thang cân nên cũng là tứ giác nội tiếp.
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết \({a_1} + {a_2} + ... + {a_{16}} > {a_{17}} + ... + {a_{31}}\)
\[{a_1} > \left( {{a_{17}} - {a_2}} \right) + \left( {{a_{18}} - {a_3}} \right) + ... + \left( {{a_{31}} - {a_{16}}} \right) \ge 15 \cdot 15 = 225\].
Suy ra \({a_1} \ge 226\).
b) Xét ba thẻ ghi các số lần lượt là 6, 19 và 30.
Ta thấy rằng tổng 2 thẻ bất kỳ trong chúng hoặc là 25, 36 hoặc 49, nên đều là các số chính phương.
Do chia các thẻ vào 2 hộp nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất 2 thẻ trong 3 thẻ trên nên tổng 2 thẻ đó là số chính phương.
Loại 3 thẻ này, giả sử không còn hộp nào chứa hai thẻ mà tổng lại là số chính phương.
Ta xét cụ thể, giả sử thẻ số 1 thuộc hộp thứ nhất, khi đó các thẻ 3, 8, 15, 24 sẽ thuộc hộp thứ hai.
Do thẻ ghi số 3 thuộc hộp thứ hai nên thẻ 13 sẽ thuộc hộp thứ nhất nên thẻ 12 sẽ thuộc hộp thứ hai.
Khi đó, trong hộp thứ hai này ta chọn thẻ 12 và 24, tổng của chúng sẽ là số chính phương (mâu thuẫn).
Vậy trong hộp còn lại này ta sẽ chọn được 4 thẻ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập