Chọn \(6\) số phân biệt từ tập hợp \(X = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9} \right\}\) để xếp vào \(6\) ô hình tròn tại các đỉnh \(\left( {A;\,B;\,C} \right)\) và các trung điểm \(\left( {M;\,N;\,P} \right)\) của một tam giác như hình vẽ gốc. Gọi \(\Omega \) là tập hợp tất cả các cách xếp sao cho 3 số trên mỗi cạnh của tam giác luôn lập thành một cấp số cộng. Chọn ngẫu nhiên một cách sắp xếp từ tập \(\Omega \)

                            

Xét mệnh đề a)

Tập hợp \(X = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9} \right\}\) có tập số lẻ \(L = \left\{ {1;\,3;\,5;\,7;\,9} \right\}\) và tập số chẵn \(C = \left\{ {2;\,4;\,6;\,8} \right\}\)

Với tập số lẻ thì tổng số cách xếp \(3\) số vào \(3\) đỉnh là \(A_5^3\). Các bộ số tạo thành cấp số cộng (các trường hợp vi phạm) có \(4\) bộ $\left\{1;3;5\right\},\left\{3;5;7\right\},\left\{5;7;9\right\},\left\{1;5;9\right\}$

Mỗi bộ có \(3!\) cách xếp hoán vị vào \(3\) đỉnh nên số trường hợp vi phạm là \(4.3! = 24\)

Vậy số cách xếp thỏa mãn là \(60 - 4.3! = 36\) (cách)

Với tập số chẵn thì tổng số cách xếp \(3\) số vào \(3\) đỉnh là \(A_4^3\). Các bộ số tạo thành cấp số cộng là \(\left\{ {2;\,4;\,6} \right\},\,\left\{ {4;\,6;\,8} \right\}\)

Mỗi bộ này có \(3!\) cách hoán vị vào ba đỉnh nên số trường hợp vi phạm là \(2.3!\)

Vậy số cách xếp thỏa mãn là \(24 - 2.3! = 12\) (cách)

Vậy tổng số cách xếp là \(n\left( \Omega  \right) = 36 + 12 = 48\) (cách) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Với tập số chẵn thì tổng số cách xếp \(3\) số vào \(3\) đỉnh là \(A_4^3\). Các bộ số tạo thành cấp số cộng là $\left\{1;3;5\right\},\left\{3;5;7\right\},\left\{5;7;9\right\},\left\{1;5;9\right\}$

Mỗi bộ này có \(3!\) cách hoán vị vào ba đỉnh nên số trường hợp vi phạm là \(2.3!\)

Vậy số cách xếp thỏa mãn là \(n\left( B \right) = 24 - 2.3! = 12\) (cách)

Xác suất để ba số ở các đỉnh \(\left( {A;\,B;\,C} \right)\) đều là số chẵn là: \(P = \frac{{12}}{{48}} = 0,25\) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Trường hợp đỉnh lẻ gồm \(5\) số \(\left\{ {1;\,3;\,5;\,7;\,9} \right\}\) thì để \(A + B = 10\) với \(A,\,B\) là số lẻ thì ta có hai cặp là \(\left\{ {1;\,9} \right\}\) và \(\left\{ {3;\,7} \right\}\)

Cặp \(\left\{ {1;\,9} \right\}\) có \(2!\)(cách xếp) vào \(A,\,B\), còn lại các số \(\left\{ {3;\,5;\,7} \right\}\)(loại \(5\) do đã dùng ở \(P\)) nên \(C\) chỉ có thể là \(3\) hoặc \(7\) nên có \(2\) cách nên số cách là \(2.2 = 4\)(cách)

Cặp \(\left\{ {3;\,7} \right\}\) có \(2!\)(cách xếp) vào \(A,\,B\), còn lại các số \(\left\{ {1;\,5;\,9} \right\}\)(loại \(5\) do đã dùng ở \(P\)) nên \(C\) chỉ có thể là \(1\) hoặc \(9\) nên có \(2\) cách nên số cách là \(2.2 = 4\)(cách)

Vậy tổng trường hợp thỏa mãn cho số lẻ là: \(4 + 4 = 8\)(cách)

Trường hợp đỉnh chẵn gồm \(4\) số \(\left\{ {2;\,4;\,6;\,8} \right\}\)thì để \(A + B = 10\) với \(A,\,B\) là số chẵn thì ta có hai cặp là \(\left\{ {2;\,8} \right\}\) và \(\left\{ {4;\,6} \right\}\)

Cặp \(\left\{ {2;\,8} \right\}\) có \(2!\)(cách xếp) vào \(A,\,B\), còn lại các số \(\left\{ {4;\,6} \right\}\) nên \(C\) chỉ có thể là \(4\) hoặc \(6\) nên có \(2\) cách nên số cách là \(2.2 = 4\)(cách)

Cặp \(\left\{ {4;\,6} \right\}\)thì \(C\) phải là \(2\) hoặc \(8\).

Nếu \(C = 2\) thì bộ \(\left\{ {4;\,6;2} \right\}\) vi phạm vì nó tạo thành cấp số cộng ở đỉnh

Nếu \(C = 8\) thì bộ \(\left\{ {4;\,6;8} \right\}\) vi phạm vì nó tạo thành cấp số cộng ở đỉnh

Vậy tổng trường hợp thỏa mãn cho số lẻ là: \(4 + 0 = 4\)(cách)

Vì có ba vị trí trung điểm \(\left( {M,\,N,\,P} \right)\) là như nhau nên ta có \(n\left( C \right) = 3.12 = 36\) (cách)

Xác suất để chữ số \(5\) nằm ở vị trí trung điểm là: \(P = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{36}}{{48}} = 0,75\) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Ba số ở các đỉnh đều là đỉnh lẻ nên \(n\left( {{\Omega _D}} \right) = 36\)

Số bộ đỉnh lẻ có chứa số \(7\)(ở đỉnh hoặc trung điểm là): \(\left\{ {1;\,3;\,7} \right\},\,\left\{ {1;\,5;\,7} \right\},\,\left\{ {1;\,7;\,9} \right\},\,\left\{ {3;\,5;\,9} \right\},\,\left\{ {3;\,7;\,9} \right\}\)

Có \(5\) bộ chứa số \(7\) nên số cách sắp xếp thuận lợi là: \(n\left( D \right) = 5.6 = 30\)(cách)

Xác suất cần tính \[P = \frac{{n\left( D \right)}}{{n\left( {{\Omega _D}} \right)}} = \frac{{30}}{{36}} = \frac{5}{6} \approx 0,83\] nên mệnh đề d) đúng