Một nhà hàng có tổng cộng \(100\) nhân viên và chi trả mức lương cố định cho mỗi nhân viên thường xuyên tăng ca là \(400\)USD/tháng. Vì nhà hàng liên tục đón những đoàn khách với số lượng lớn nhưng không thể thuê thêm nhân viên nên chủ nhà hàng muốn khuyến khích nhân viên của mình tăng ca. Ông chủ quyết định cử một nhân viên quyết định tăng ca thì mức lương của tất cả nhân viên tăng ca trong nhà hàng đều được tăng thêm \(3\% \). Tương tự nếu \(k\) nhân viên tăng ca thì lương cho mỗi người trong số \(k\) người đó sẽ tăng \(3k\left( \% \right)\). Bên cạnh tiền lương cho nhân viên thì tiền điện nước và duy trì cơ sở vật chất là cố định \(8000\)USD/tháng. Doanh thu trung bình từ khách hàng là \(40\,000\)USD/tháng và mỗi nhân viên tăng ca trung bình sẽ được khách hàng tip \(800\)USD/tháng (tiền tip phải nộp lại cho chủ cửa hàng và tính vào doanh thu). Xác định số nhân viên còn lại không tăng ca cần có để lợi nhuận của nhà hàng đạt giá trị lớn nhất?

Tọa độ đỉnh của parabol là $I\left(a;48\right)$, đi qua các điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) và \(A\left( {24;\,32} \right)\)

Khi đó \(y = k{\left( {x - a} \right)^2} + 48\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}k{a^2} + 48 = 0\\k{\left( {24 - a} \right)^2} + 48 = 32\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{{\left( {24 - a} \right)}^2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 36 - 12\sqrt 3 \\a = 36 + 12\sqrt 3 \end{array} \right.\]

Kiểm tra lại điều kiện: \( - \frac{b}{{2a}} < 24\) nên chọn \(a = 36 - 12\sqrt 3 \) thỏa mãn\( \Rightarrow \)\(k = \frac{{ - {{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}}{{36}}\)

Vậy phương trình parabol là: \(y = \frac{{ - {{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}}{{36}}{\left( {x - 36 + 12\sqrt 3 } \right)^2} + 48\)

Đường thẳng \(OA\) đi qua \(\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;\,0} \right)\\A\left( {24;32} \right)\end{array} \right.\) có phương trình \(y = \frac{4}{3}x\)

Xét mệnh đề a)

Gọi phương trình đường tiệm cận xiên là \(y = ax + b\) đi qua \(\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;\,0} \right)\\I\left( {1;\,1} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}0a + b = 0\\a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tiệm cận xiên là \(y = x\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Hàm số có dạng \(y = f\left( x \right) = x + 0 + \frac{1}{{x - c}}\) và đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\)

Do đó \[x = c = 1\] nên \(y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{{x - 1}} = \left( {x - 1} \right) + \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}} + 1 \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}}  + 1 = 3\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(x - 1 = \frac{1}{{x - 1}} \Leftrightarrow x = 2\) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = 1\end{array} \right.\] nên \(a + b + c = 1 + 0 + 1 = 2\) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;\, - 1} \right)\); \(B\left( {2;\,3} \right)\) và gọi \(M\left( {m;\,0} \right)\)

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = \left( { - m;\, - 1} \right)\\\overrightarrow {MB}  = \left( {2 - m;\,3} \right)\end{array} \right.\] mà \[\widehat {AMB} \le 90^\circ  \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} } \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} \ge 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  \ge 0\]

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\m \ge 3\end{array} \right.\) nên \(OM = \left| m \right| = m \ge 3\) nên giá trị nhỏ nhất bằng \(3\) khi\(M\left( {3;\,0} \right)\) nên mệnh đề d) sai