Tại một nút giao thông của một khu vực đông dân cư với tốc độ tối đa cho phép đối với ô tô là \(50\)(km/h), người ta gắn một camera phạt nguội tại điểm \(S\left( {0;0;14} \right)\) trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), mặt phẳng \(Oxy\) song song với mặt đường và chứa vùng nhận diện biển số xe của các phương tiện tham gia giao thông

 

 

Biết rằng camera nhận diện tốt nhất biển số xe của các phương tiện tham gia giao thông là khi biển số của chúng nằm trong hình thang cân \(ABCD\) với: \(SA = SB = 27\) mét, \(OD = OC = 5\) mét,\(AB = 14\) mét và \(CD = 9,6\) mét. Tia \(Ox\) nằm trên đường trung trực các đoạn thẳng \(AB\) và \(DC\)(xem hình vẽ minh họa). Giả sử tại thời điểm 9h00 (được xem là thời điểm xuất phát) một ô tô chuyển động thẳng đều theo phương song song với trục \(Ox\), hướng về phía trục \(Oy\) và có vị trí của biển số xe là \(M\left( {50; - 6;0} \right)\)

 

Xét với \(k\) là số nhân viên tăng ca thì lương mỗi nhân viên sau tăng ca là: \(400\left( {1 + 0,03k} \right)\) USD.

Tổng lương cho \(k\) nhân viên là: \(400k\left( {1 + 0,03k} \right) = 4k\left( {100 + 3k} \right)\).

Với \(100 - k\) nhân viên còn lại thì mức lương vẫn 400USD nên tổng sẽ là: \(400\left( {100 - k} \right)\) USD.

Cứ \(k\) nhân viên tăng ca doanh thu tăng \(800k\) USD nên doanh thu tổng là: \(40000 + 800k\) USD.

Suy ra lợi nhuận tổng của nhà hàng là:

\(T\left( k \right) = 40000 + 800k - 4k\left( {100 + 3k} \right) - 8000 - 400\left( {100 - k} \right) =  - 8000 + 800k - 12{k^2}\)

Xét hàm số \(T\left( k \right)\), ta có: \(T'\left( k \right) = 800 - 24k\). Giải \(T'\left( k \right) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{100}}{3} \notin \mathbb{N} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 33\\k = 34\end{array} \right.\)

Xét \(T\left( {33} \right) = 5332;T\left( {34} \right) = 5328 \to T\left( {33} \right) > T\left( {34} \right) \Rightarrow {T_{\max }} = T\left( {33} \right)\) tức lợi nhuận max là khi số nhân viên tăng ca là \(33\) tức số nhân viên còn lại không tăng ca là \(100 - 33 = 67\).

Tọa độ đỉnh của parabol là $I\left(a;48\right)$, đi qua các điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) và \(A\left( {24;\,32} \right)\)

Khi đó \(y = k{\left( {x - a} \right)^2} + 48\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}k{a^2} + 48 = 0\\k{\left( {24 - a} \right)^2} + 48 = 32\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{{\left( {24 - a} \right)}^2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 36 - 12\sqrt 3 \\a = 36 + 12\sqrt 3 \end{array} \right.\]

Kiểm tra lại điều kiện: \( - \frac{b}{{2a}} < 24\) nên chọn \(a = 36 - 12\sqrt 3 \) thỏa mãn\( \Rightarrow \)\(k = \frac{{ - {{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}}{{36}}\)

Vậy phương trình parabol là: \(y = \frac{{ - {{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}}{{36}}{\left( {x - 36 + 12\sqrt 3 } \right)^2} + 48\)

Đường thẳng \(OA\) đi qua \(\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;\,0} \right)\\A\left( {24;32} \right)\end{array} \right.\) có phương trình \(y = \frac{4}{3}x\)