Tại một nút giao thông của một khu vực đông dân cư với tốc độ tối đa cho phép đối với ô tô là \(50\)(km/h), người ta gắn một camera phạt nguội tại điểm \(S\left( {0;0;14} \right)\) trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), mặt phẳng \(Oxy\) song song với mặt đường và chứa vùng nhận diện biển số xe của các phương tiện tham gia giao thông

 

 

Biết rằng camera nhận diện tốt nhất biển số xe của các phương tiện tham gia giao thông là khi biển số của chúng nằm trong hình thang cân \(ABCD\) với: \(SA = SB = 27\) mét, \(OD = OC = 5\) mét,\(AB = 14\) mét và \(CD = 9,6\) mét. Tia \(Ox\) nằm trên đường trung trực các đoạn thẳng \(AB\) và \(DC\)(xem hình vẽ minh họa). Giả sử tại thời điểm 9h00 (được xem là thời điểm xuất phát) một ô tô chuyển động thẳng đều theo phương song song với trục \(Ox\), hướng về phía trục \(Oy\) và có vị trí của biển số xe là \(M\left( {50; - 6;0} \right)\)

 

Suy ra các tọa độ: \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {10;0;0} \right),D\left( {0;10;0} \right),A'\left( {0;0;10} \right)\)

Khi đó ta gọi \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) và chọn \(d = 10\), ta có: \(\left( P \right):ax + by + cz + 10 = 0\)

Từ đây lần lượt có được như sau: (với \(a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }\)).

\(d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10a + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 10;d\left( {D;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10b + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 11;d\left( {A';\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10c + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 12\)

Đặt \(t = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \), khi ấy ta có dãy tỉ lệ thức sau: \(\frac{{a + 1}}{{10}} = \frac{{b + 1}}{{11}} = \frac{{c + 1}}{{12}} = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10t - 1\\b = 11t - 1\\c = 12t - 1\end{array} \right.\)

Khi ấy ta có phương trình: \[d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10a + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {100t} \right|}}{{\sqrt {365{t^2} - 66t + 3} }} = 10\]

\( \Leftrightarrow 265{t^2} - 66t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = {t_0} = \frac{{33 + 7\sqrt 6 }}{{265}}\).

Vậy ta suy ra khoảng cần tìm là: \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = {\left. {\frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {365{t^2} - 66t + 3} }}} \right|_{t = {t_0}}} = \frac{{33 - 7\sqrt 6 }}{3} \approx 5,28\)(cm)