Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi một đường cong parabol và một đường thẳng có các kích thước như hình vẽ dưới đây. Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là phần được tô màu bằng bao nhiêu centimet vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Xét với \(k\) là số nhân viên tăng ca thì lương mỗi nhân viên sau tăng ca là: \(400\left( {1 + 0,03k} \right)\) USD.

Tổng lương cho \(k\) nhân viên là: \(400k\left( {1 + 0,03k} \right) = 4k\left( {100 + 3k} \right)\).

Với \(100 - k\) nhân viên còn lại thì mức lương vẫn 400USD nên tổng sẽ là: \(400\left( {100 - k} \right)\) USD.

Cứ \(k\) nhân viên tăng ca doanh thu tăng \(800k\) USD nên doanh thu tổng là: \(40000 + 800k\) USD.

Suy ra lợi nhuận tổng của nhà hàng là:

\(T\left( k \right) = 40000 + 800k - 4k\left( {100 + 3k} \right) - 8000 - 400\left( {100 - k} \right) =  - 8000 + 800k - 12{k^2}\)

Xét hàm số \(T\left( k \right)\), ta có: \(T'\left( k \right) = 800 - 24k\). Giải \(T'\left( k \right) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{100}}{3} \notin \mathbb{N} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 33\\k = 34\end{array} \right.\)

Xét \(T\left( {33} \right) = 5332;T\left( {34} \right) = 5328 \to T\left( {33} \right) > T\left( {34} \right) \Rightarrow {T_{\max }} = T\left( {33} \right)\) tức lợi nhuận max là khi số nhân viên tăng ca là \(33\) tức số nhân viên còn lại không tăng ca là \(100 - 33 = 67\).

Xét mệnh đề a)

Gọi phương trình đường tiệm cận xiên là \(y = ax + b\) đi qua \(\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;\,0} \right)\\I\left( {1;\,1} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}0a + b = 0\\a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tiệm cận xiên là \(y = x\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Hàm số có dạng \(y = f\left( x \right) = x + 0 + \frac{1}{{x - c}}\) và đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\)

Do đó \[x = c = 1\] nên \(y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{{x - 1}} = \left( {x - 1} \right) + \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}} + 1 \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}}  + 1 = 3\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(x - 1 = \frac{1}{{x - 1}} \Leftrightarrow x = 2\) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = 1\end{array} \right.\] nên \(a + b + c = 1 + 0 + 1 = 2\) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;\, - 1} \right)\); \(B\left( {2;\,3} \right)\) và gọi \(M\left( {m;\,0} \right)\)

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = \left( { - m;\, - 1} \right)\\\overrightarrow {MB}  = \left( {2 - m;\,3} \right)\end{array} \right.\] mà \[\widehat {AMB} \le 90^\circ  \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} } \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} \ge 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  \ge 0\]

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\m \ge 3\end{array} \right.\) nên \(OM = \left| m \right| = m \ge 3\) nên giá trị nhỏ nhất bằng \(3\) khi\(M\left( {3;\,0} \right)\) nên mệnh đề d) sai