Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), người ta thiết kế mô hình một sân khấu rộng \(7\) mét, cao \(3\) mét. Bức tường bên trái nằm trên mặt phẳng \(Oxz\), bức tường bên phải song song với bức tường bên trái. Một ngọn đèn được đặt tại điểm \(L\left( {4;0;5} \right)\) và một chiếc cọc thẳng đứng có chiều cao \(h\) và có chân đặt tại điểm \(H\left( {1;6;0} \right)\) như hình vẽ dưới đây:

Từ công thức \(P\left( t \right) = 100 - 20\cos \left( {\frac{{8\pi }}{3}t} \right)\) có \(\omega  = \frac{{8\pi }}{3}\) nên chu kỳ là \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{8\pi /3}} = \frac{3}{4}\)(giây)

Mỗi chu kỳ tương ứng một nhịp tim, tức 1 nhịp trong \(0,75\)(giây)

Do đó số nhịp trên một phút (60 giây) là \(\frac{{60}}{{0,75}} = 80\) nhịp tim của người đó là 80 nhịp/phút.

Xét mệnh đề a)

Điểm \(A\left( {4;0} \right)\)và \(D\left( {4;4} \right)\). Điểm \({I_2}\) là trung điểm \(AD \Rightarrow {I_2}\left( {4;2} \right)\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {0;2} \right)\) có bán kính \(R = 2\)là : \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\left( * \right)\)

Từ \(\left( * \right) \Rightarrow y - 2 =  \pm \sqrt {4 - {x^2}} \)

Nhìn vào hình vẽ, cung \(\left( {{C_1}} \right)\)nằm dưới tâm \({I_1}\)(giá trị \(y \le 2\)) nên ta chọn: \(y = 2 - \sqrt {4 - {x^2}} \) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {4;2} \right)\) có bán kính \(R = 2\) là : \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\left( {**} \right)\)

Từ \[\left( {**} \right) \Rightarrow y - 2 =  \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \]

Nhìn vào hình vẽ, cung \(\left( {{C_2}} \right)\) nằm trên tâm \({I_2}\)(giá trị \(y \ge 2\)) nên ta chọn: \(y = 2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \)

Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) : \[{S_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^2 {\left| {2 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right|} {\rm{d}}x + \int\limits_2^4 {\left| {2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } \right|} {\rm{d}}x = 8\](cm2) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Thể tích hình phẳng \(\left( H \right)\)khi quay quanh trục \(AB\):

\({V_{\left( H \right)}} = \pi .\left[ {{{\int\limits_0^2 {\left( {2 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)} }^2}{\rm{d}}x + {{\int\limits_2^4 {\left( {2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } \right)} }^2}{\rm{d}}x} \right] \approx 83,8\)(cm3) nên mệnh đề d) sai