Hình phẳng \(\left( H \right)\) dưới đây được giới hạn bởi các cạnh \(AB,\,AD\) của hình vuông và các cung phần tư của các đường tròn có bán kính bằng \(2\)cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(AD\) và được gắn vào hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây:

Để bài làm nhìn gọn hơn, ta chuẩn hóa đơn vị về kilomet. Gọi parabol \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Parabol đi qua điểm \(A\left( {1;\,1} \right)\) và điểm \(B\left( {3;\,0,8} \right)\)

Độ dốc tại \(A\) có độ lớn bằng \(0,3\) nhưng nó đang đi xuống từ trái sang phải nên độ dốc là \( - 0,3\)

Khi đó ta có: \[y'\left( 1 \right) =  - 0,3 \Leftrightarrow 2a.1 + b =  - 0,3 \Leftrightarrow 2a + b =  - 0,3\]

Từ đó ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\9a + 3b + c = 0,8\\2a + b =  - 0,3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{10}}\\b =  - \frac{1}{2}\\c = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{10}}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{7}{5}\]

Sợi cáp an toàn là đường thẳng \(g\left( x \right) = mx + n\) đi qua \[A\left( {1;\,1} \right)\] và \(B\left( {3;\,0,8} \right)\) có phương trình là:

\(g\left( x \right) =  - \frac{1}{{10}}x + \frac{{11}}{{10}}\)

Khoảng cách giữa cáp an toàn và cầu treo theo phương thẳng đứng là : \(D\left( x \right) = g\left( x \right) - f\left( x \right)\)

\[ \Leftrightarrow D\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{10}}x + \frac{{11}}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{10}}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{7}{5}} \right) \Leftrightarrow D\left( x \right) =  - \frac{1}{{10}}{x^2} + \frac{2}{5}x - \frac{3}{{10}}\]

Khảo sát hàm số \(D\left( x \right)\) để tìm khoảng cách lớn nhất. Nhận thấy, đây là đồ thị của hàm số bậc hai có hệ số \(a < 0\) nên sẽ đạt giá trị lớn nhất tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{\frac{2}{5}}}{{2.\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)}} = 2 \Rightarrow {D_{\max }}\left( 2 \right) = 0,1\)(km)

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa cáp an toàn và cầu treo theo phương thẳng đứng là \(100\) mét.

Giả sử diện tích mặt sàn tầng 1 là \({S_1}\)(m2) nên diện tích mặt sàn tầng 2 là \({S_2} = \frac{3}{5}{S_1}\).

Diện tích mặt sàn tầng 3 là \({S_3} = \frac{3}{5}{S_2} = \frac{9}{{25}}{S_1}\) nên diện tích mặt sàn tầng 6 là \({S_6} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^5}{S_1}\).

Tổng diện tích mặt sàn của toà tháp là: \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_6} = 45.\frac{{1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^6}}}{{1 - \frac{3}{5}}} = 107,251\)(m²)

Số viên gạch cần dùng là: \(\frac{{107,251}}{{\left( {0,4.0,4} \right)}} = 671\) viên