Hình phẳng \(\left( H \right)\) dưới đây được giới hạn bởi các cạnh \(AB,\,AD\) của hình vuông và các cung phần tư của các đường tròn có bán kính bằng \(2\)cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(AD\) và được gắn vào hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây:

Từ công thức \(P\left( t \right) = 100 - 20\cos \left( {\frac{{8\pi }}{3}t} \right)\) có \(\omega  = \frac{{8\pi }}{3}\) nên chu kỳ là \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{8\pi /3}} = \frac{3}{4}\)(giây)

Mỗi chu kỳ tương ứng một nhịp tim, tức 1 nhịp trong \(0,75\)(giây)

Do đó số nhịp trên một phút (60 giây) là \(\frac{{60}}{{0,75}} = 80\) nhịp tim của người đó là 80 nhịp/phút.

Xét mệnh đề a)

Phương trình mặt phẳng chứa bức tường bên phải là \(y = 7\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Tọa độ đèn là \(L\left( {4;0;5} \right)\) và chân cọc \(H\left( {1;6;0} \right)\) nên đỉnh cọc có tọa độ \(T\left( {1;6;h} \right)\)

Vectơ chỉ phương của tia sáng \(LT\) là \(\overrightarrow {{u_{LT}}}  = \left( { - 3;6;h - 5} \right)\)

Phương trình tia sáng \(LT\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 3t\\y = 6t\\z = 5 + \left( {h - 5} \right)t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)

Giao điểm với tường phải có phương trình \(y = 7\) nên \(6t = 7 \Leftrightarrow t = \frac{7}{6} \Rightarrow z = \frac{{7h - 5}}{6}\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Đỉnh cọc lúc này có tọa độ \(T'\left( {1;6;2} \right)\) nên vectơ chỉ phương của tia sáng là \[\overrightarrow {{u_{LT'}}}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\]

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia sáng và mặt sàn, khi đó: \(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_{LT'}}} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{LT'}}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Để bóng in trên bức tường thì bóng phải nằm trong phạm vi chiều cao của tường nên \(0 \le z \le 3\)

Thay vào ta được bất phương trình: \(0 \le \frac{{7h - 5}}{6} \le 3 \Leftrightarrow \frac{5}{7} \le h \le \frac{{23}}{7}\) nên \(h \in \left[ {\frac{5}{7};\frac{{23}}{7}} \right]\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{7}\\b = \frac{{23}}{7}\end{array} \right.\) suy ra \(a + b = \frac{5}{7} + \frac{{23}}{7} = \frac{{28}}{7} = 4\) nên mệnh đề d) đúng