Hình vẽ dưới đây mô tả mặt cắt ngang của một khu du lịch sinh thái kết nối hai đỉnh núi rại \(A\) và \(B\) bằng một cầu treo có hình dạng là một đường cong parabol. Trong hệ trục \(Oxy\), trục \(Ox\) biểu thị khoảng cách theo phương ngang trục, \(Oy\) biểu thị độ cao so với mực nước biển. Khoảng cách theo phương ngang giữa hai ngọn núi \(A\) và \(B\) bằng \(2000\)m và chiều cao ngọn núi tại \(B\) là \(800\)m so với mực nước biển Biết rằng, đỉnh núi tại \(A\) có độ cao là \(1000\)m so với mực nước biển, cách \(Oy\)\(1000\)m và độ dốc lớn nhất của cầu treo tại đó có độ lớn bằng \(0,3\). Để đảm bảo an toàn, người ta lắp đặt thêm một sợi cáp an toàn căng thẳng nối trực tiếp hai đỉnh \(A\) và \(B\). Xác định khoảng cách lớn nhất giữa cáp an toàn và cầu treo theo phương thẳng đứng theo đơn vị mét?

Từ công thức \(P\left( t \right) = 100 - 20\cos \left( {\frac{{8\pi }}{3}t} \right)\) có \(\omega  = \frac{{8\pi }}{3}\) nên chu kỳ là \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{8\pi /3}} = \frac{3}{4}\)(giây)

Mỗi chu kỳ tương ứng một nhịp tim, tức 1 nhịp trong \(0,75\)(giây)

Do đó số nhịp trên một phút (60 giây) là \(\frac{{60}}{{0,75}} = 80\) nhịp tim của người đó là 80 nhịp/phút.

Xét mệnh đề a)

Phương trình mặt phẳng chứa bức tường bên phải là \(y = 7\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Tọa độ đèn là \(L\left( {4;0;5} \right)\) và chân cọc \(H\left( {1;6;0} \right)\) nên đỉnh cọc có tọa độ \(T\left( {1;6;h} \right)\)

Vectơ chỉ phương của tia sáng \(LT\) là \(\overrightarrow {{u_{LT}}}  = \left( { - 3;6;h - 5} \right)\)

Phương trình tia sáng \(LT\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 3t\\y = 6t\\z = 5 + \left( {h - 5} \right)t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)

Giao điểm với tường phải có phương trình \(y = 7\) nên \(6t = 7 \Leftrightarrow t = \frac{7}{6} \Rightarrow z = \frac{{7h - 5}}{6}\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Đỉnh cọc lúc này có tọa độ \(T'\left( {1;6;2} \right)\) nên vectơ chỉ phương của tia sáng là \[\overrightarrow {{u_{LT'}}}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\]

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia sáng và mặt sàn, khi đó: \(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_{LT'}}} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{LT'}}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Để bóng in trên bức tường thì bóng phải nằm trong phạm vi chiều cao của tường nên \(0 \le z \le 3\)

Thay vào ta được bất phương trình: \(0 \le \frac{{7h - 5}}{6} \le 3 \Leftrightarrow \frac{5}{7} \le h \le \frac{{23}}{7}\) nên \(h \in \left[ {\frac{5}{7};\frac{{23}}{7}} \right]\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{7}\\b = \frac{{23}}{7}\end{array} \right.\) suy ra \(a + b = \frac{5}{7} + \frac{{23}}{7} = \frac{{28}}{7} = 4\) nên mệnh đề d) đúng