Trong một ký túc xá sinh viên công nghệ có tổng cộng \(1000\) sinh viên. Một nhóm sinh viên khởi nghiệp tung ra một ứng dụng mới dành riêng cho khu ký túc xá này. Giả sử tốc độ lan truyền của ứng dụng (tốc độ tăng số người cài đặt) tại mọi thời điểm luôn tỷ lệ thuận với tích của số người đã cài đặt và số người chưa cài đặt. Ban đầu, nhóm phát triển cài đặt trước ứng dụng cho \(100\) sinh viên nòng cốt để dùng thử. Sau \(5\) ngày, nhờ hiệu ứng truyền miệng nên số người cài đặt đã tăng lên đến \(500\) sinh viên. Hỏi sau bao nhiêu ngày (tính từ thời điểm ban đầu) thì số lượng người cài đặt ứng dụng sẽ đạt con số \(900\) sinh viên?

Xét mệnh đề a)

Điểm \(A\left( {4;0} \right)\)và \(D\left( {4;4} \right)\). Điểm \({I_2}\) là trung điểm \(AD \Rightarrow {I_2}\left( {4;2} \right)\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {0;2} \right)\) có bán kính \(R = 2\)là : \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\left( * \right)\)

Từ \(\left( * \right) \Rightarrow y - 2 =  \pm \sqrt {4 - {x^2}} \)

Nhìn vào hình vẽ, cung \(\left( {{C_1}} \right)\)nằm dưới tâm \({I_1}\)(giá trị \(y \le 2\)) nên ta chọn: \(y = 2 - \sqrt {4 - {x^2}} \) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {4;2} \right)\) có bán kính \(R = 2\) là : \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\left( {**} \right)\)

Từ \[\left( {**} \right) \Rightarrow y - 2 =  \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \]

Nhìn vào hình vẽ, cung \(\left( {{C_2}} \right)\) nằm trên tâm \({I_2}\)(giá trị \(y \ge 2\)) nên ta chọn: \(y = 2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \)

Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) : \[{S_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^2 {\left| {2 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right|} {\rm{d}}x + \int\limits_2^4 {\left| {2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } \right|} {\rm{d}}x = 8\](cm2) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Thể tích hình phẳng \(\left( H \right)\)khi quay quanh trục \(AB\):

\({V_{\left( H \right)}} = \pi .\left[ {{{\int\limits_0^2 {\left( {2 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)} }^2}{\rm{d}}x + {{\int\limits_2^4 {\left( {2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } \right)} }^2}{\rm{d}}x} \right] \approx 83,8\)(cm3) nên mệnh đề d) sai

Để bài làm nhìn gọn hơn, ta chuẩn hóa đơn vị về kilomet. Gọi parabol \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Parabol đi qua điểm \(A\left( {1;\,1} \right)\) và điểm \(B\left( {3;\,0,8} \right)\)

Độ dốc tại \(A\) có độ lớn bằng \(0,3\) nhưng nó đang đi xuống từ trái sang phải nên độ dốc là \( - 0,3\)

Khi đó ta có: \[y'\left( 1 \right) =  - 0,3 \Leftrightarrow 2a.1 + b =  - 0,3 \Leftrightarrow 2a + b =  - 0,3\]

Từ đó ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\9a + 3b + c = 0,8\\2a + b =  - 0,3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{10}}\\b =  - \frac{1}{2}\\c = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{10}}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{7}{5}\]

Sợi cáp an toàn là đường thẳng \(g\left( x \right) = mx + n\) đi qua \[A\left( {1;\,1} \right)\] và \(B\left( {3;\,0,8} \right)\) có phương trình là:

\(g\left( x \right) =  - \frac{1}{{10}}x + \frac{{11}}{{10}}\)

Khoảng cách giữa cáp an toàn và cầu treo theo phương thẳng đứng là : \(D\left( x \right) = g\left( x \right) - f\left( x \right)\)

\[ \Leftrightarrow D\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{10}}x + \frac{{11}}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{10}}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{7}{5}} \right) \Leftrightarrow D\left( x \right) =  - \frac{1}{{10}}{x^2} + \frac{2}{5}x - \frac{3}{{10}}\]

Khảo sát hàm số \(D\left( x \right)\) để tìm khoảng cách lớn nhất. Nhận thấy, đây là đồ thị của hàm số bậc hai có hệ số \(a < 0\) nên sẽ đạt giá trị lớn nhất tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{\frac{2}{5}}}{{2.\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)}} = 2 \Rightarrow {D_{\max }}\left( 2 \right) = 0,1\)(km)

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa cáp an toàn và cầu treo theo phương thẳng đứng là \(100\) mét.