Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\) với đơn vị trên mỗi trục tính bằng kilomet, một khinh khí cầu bay thẳng theo hướng từ điểm \(A\left( {3;\,8;\,0} \right)\) đến điểm \(B\left( { - 3;\, - 2;\,15} \right)\) với tốc độ (km/h). Biết rằng, năng lượng của khinh khí cầu để có thể di chuyển với tốc độ là Do phải tránh vùng an toàn là một mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 0,5} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 25\) nên khinh khí cầu bay lệch một góc \(\alpha \) so với \(AB\) trong mặt phẳng \(\left( {IAB} \right)\). Tại một điểm \(H\) gần tâm mặt cầu nhất thì vận tốc \({v_H}\) đạt mức năng lượng thấp nhất và thỏa mãn \({v_H} = {v_0}.\cos \alpha - AH\)

Xét mệnh đề a)

Để năng lượng thấp nhất, ta xét \(E'\left( v \right) = 2v - 40.\,\,E'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 20\)(km/h)

Vậy tại điểm \(H\) thì vận tốc \({v_H} = 20\)(km/h) để đạt mức năng lượng thấp nhất nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6; - 10;15} \right)\, \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{10}^2} + {{15}^2}}  = 19\) và \(\overrightarrow {AI}  = \left( { - 1; - 7,5;6} \right)\,\)

Tích có hướng: \(\left[ {\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {52,5;21;35} \right)\, \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( {52,5} \right)}^2} + {{21}^2} + {{35}^2}}  = \frac{{133}}{2}\)

Khoảng cách từ tâm \(I\)đến đường thẳng \(AB\)là :

\(d\left( {I,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\frac{{133}}{2}}}{{19}} = 3,5\)(km) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Trong mặt phẳng \(\left( {IAB} \right)\) gọi \(\beta \) là góc \(\widehat {IAB}\) thì \(\cos \beta  = \frac{{\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {AI} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{9}{{AI}}\) và \(\sin \beta  = \frac{{3,5}}{{AI}}\)

Gọi \(\alpha \) là góc lệch của đường bay mới \(AH\) so với \(AB\) thì \(H\) là điểm trên đường bay mới gần \(I\)nhất nên \(\Delta AIH\)vuông tại \(H\)

Vậy \(AH = AI.\cos \widehat {IAH}\).

Để tránh mặt cầu (nằm cũng phía với \(I\)) thì góc giữa \(AH\)và \(AI\) là \(\varphi  = \alpha  + \beta \)

Khi đó \(AH = AI.\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = AI.\left( {\cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta } \right) = 9\cos \alpha  - 3,5\sin \alpha \).

Theo đề bài: \({v_H} = {v_0}\cos \alpha  - AH \Leftrightarrow 20 = {v_0}\cos \alpha  - \left( {9\cos \alpha  - 3,5\sin \alpha } \right)\)

   \( \Rightarrow {v_0} = \frac{{20}}{{\cos \alpha }} + 9 - 3,5\tan \alpha  \Rightarrow {v'_0}\left( \alpha  \right) = \frac{{20\sin \alpha  - 3,5}}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Cho \({v'_0}\left( \alpha  \right) = 0 \Leftrightarrow 20\sin \alpha  - 3,5 = 0 \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{7}{{40}}\)nên mệnh đề c) sai.

Xét mệnh đề d)

Khi \(\sin \alpha  = \frac{7}{{40}}\)thì \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt {1551} }}{{40}}\)và \[\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{7}{{\sqrt {1551} }}\]

\({v_0}_{Min} = \frac{{20}}{{\cos \alpha }} + 9 - 3,5\tan \alpha  = \frac{{20}}{{\frac{{\sqrt {1551} }}{{40}}}} + 9 - 3,5.\frac{7}{{\sqrt {1551} }} = 9 + \frac{{\sqrt {1551} }}{2}\)nên mệnh đề d) đúng