Một nhà sản xuất độc quyền một loại bánh gia truyền để bán ra thị trường trong dịp Tết năm nay. Qua thăm dò và nghiên cứu thị trường biết lượng cầu về loại hàng này là một hàm số \({Q_D}\left( P \right) = 656 - \frac{P}{2}\) theo đơn giá \(P\). Nếu sản xuất loại bánh này với sản lượng \(Q\) thì tổng chi phí là \(C\left( Q \right) = {Q^3} - 77{Q^2} + 1000Q + 100\). Tìm mức sản lượng \(Q\) để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất sau khi bán hết loại bánh này

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ :

Phương trình parabol \(DC\)có dạng \({y_{DC}} = a{x^2} + c\)đi qua điểm\(D\left( {1,5;16} \right)\)và\(C\left( {3;13} \right)\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {1,5} \right)}^2}a + c = 16}\\{{3^2}a + c = 13}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{4}{9}}\\{c = 17}\end{array}} \right. \Rightarrow {y_{DC}} =  - \frac{4}{9}{x^2} + 17 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)\)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {3;12,5} \right)\)và bán kính \(R = 0,5\)

\[{\left( {x - 3} \right)^3} + {\left( {y - 12,5} \right)^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x =  - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3\]

Lượng sữa chua còn lại là :

\[V = \pi {.3^2}.12 + \pi \left[ {\int\limits_{12}^{13} {\left( { - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3} \right)} \,dy + \int\limits_{13}^{14} {\left( {\frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)} \right)} \,dy} \right] \approx 385\](ml)

Số phần tử không gian mẫu: Trên 2 đường chéo, mỗi đường chéo có 7 điểm

Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là:\(2.C_7^3 = 70\) cách

Trên 4 cạnh, mỗi cạnh có đúng 3 điểm thẳng hàng nên số cách chọn là: \(4.C_3^3 = 4\)(cách)

Trên các đường trung trực, có 2 đường nối trung điểm các cạnh đối diện đi qua tâm, mỗi đường có 3 điểm nên số cách chọn là: \(2.C_3^3 = 2\)(cách)

Trên các đường thẳng nối từ trung điểm cạnh, đi qua một điểm trên đường chéo tới đỉnh đối diện có \(8\) đường thẳng, mỗi đường chứa đúng \(3\) điểm nên có \(8.C_3^3 = 8\) cách chọn

Vậy số phần tử trong không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 70 + 4 + 2 + 8 = 84\)(cách)

Số cách chọn thuận lợi:

Gọi biến cố \(A\): "Ba bóng đèn đó nằm trên các đường chéo của hình vuông".

Vậy số cách chọn \(A\) thuận lợi: \(n\left( A \right) = 2.C_7^3 = 70\) cách

Xác suất để ba bóng đèn đó nằm trên các đường chéo của hình vuông\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{70}}{{84}} \approx 0,83\)