Một con xúc xắc cân đối đồng chất được thiết kế đặc biệt, trên sáu mặt của nó ghi các số \(1,\,1,\,2,\,2,\,3,\,4\). Tiến hành tung con xúc xắc này ba lần liên tiếp. Biết rằng tổng các số thu được sau ba lần tung bằng \(7\). Tính xác suất để kết quả của ba lần tung theo đúng thứ tự đó lập thành một cấp số nhân (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) lần lượt là các vector lực trùng với hướng ba chân đế của bình cá cảnh.
Trước hết ta có điều kiện cân bằng như sau: \(\overrightarrow P = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \) với \({F_1} = {F_2} = {F_3}\)
Gọi góc \[\widehat {\left( {\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} } \right)} = \widehat {\left( {\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}} } \right)} = \widehat {\left( {\overrightarrow {{F_3}} ;\overrightarrow {{F_1}} } \right)} = \beta > 0^\circ \], khi đó ta có:
\[{P^2} = {\left( {\overrightarrow P } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)^2} = F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + 2\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_2}} + 2\overrightarrow {{F_2}} \overrightarrow {{F_3}} + 2\overrightarrow {{F_3}} \overrightarrow {{F_1}} \]
\[ \Leftrightarrow {P^2} = F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + 2\cos \beta \left( {{F_1}.{F_2} + {F_2}.{F_3} + {F_3}.{F_1}} \right)\]. Mà \({F_1} = {F_2} = {F_3}\) nên phương trình tương đương với: \[ \Leftrightarrow {P^2} = 3F_1^2 + 6F_1^2\cos \beta = F_1^2\left( {3 + 6\cos \beta } \right)\].
Mà \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \Rightarrow P = mg = 20.10 = 200\left( N \right)\) nên \[F_1^2\left( {3 + 6\cos \beta } \right) = 200 \Leftrightarrow F_1^2 = \frac{{200}}{{3 + 6\cos \beta }}\] (*).

Xét \(\Delta SAC\), ta có: \(\frac{{MP}}{{AC}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SM + 50}} = \frac{2}{3}\). Mà \(SM = SP\) (\(\Delta SAC\) cân) nên \(SM = SP = 100\)
Áp dụng định lí Cosin, ta có:
Vậy ta suy ra độ lớn cần tìm là: \[{F_1} = {F_2} = {F_3} \approx 67,1\](N)

Xét mệnh đề a)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua ba điểm \[S\left( {0;5;10} \right),C\left( {8;9;2} \right),D\left( {16;7;0} \right)\]
Ta có tọa độ các vectơ: \(\overrightarrow {SC} = \left( {8;4; - 8} \right) = 4\left( {2;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {SD} = \left( {16;2; - 10} \right) = 2\left( {8;1; - 5} \right).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là: \[{\vec n_P} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( { - 3; - 6; - 6} \right)\]
Chọn \(\vec n = \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua \(S\left( {0;5;10} \right)\):
\(1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 5} \right) + 2\left( {z - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 30 = 0\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(SC\)là \({\vec u_{SC}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\)
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {{{\vec u}_{SC}}.\vec k} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{SC}}} \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .1}} = \frac{2}{3}\)nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Cung tròn tâm\(M\)nằm trong mặt phẳng\(\left( P \right)\) đi qua \(C,D\) và tiếp xúc \(SC\)ại\(C\).
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) và do \(M \in \left( P \right) \Rightarrow x + 2y + 2z = 30\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác, ta có\(SC\)là tiếp tuyến với cung tròn tại tiếp điểm \(C\)nên \(MC \bot SC \Rightarrow MC.SC = 0\)
Với \(\overrightarrow {MC} = \left( {8 - x;9 - y;2 - z} \right)\) và \(\overrightarrow {SC} = \left( {8;4; - 8} \right)\), ta có:
\(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {SC} = 0 \Leftrightarrow 8\left( {8 - x} \right) + 4\left( {9 - y} \right) - 8\left( {2 - z} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2z = 21\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Lại có \(MC = MD \Leftrightarrow M{C^2} = M{D^2}\) nên khi đó:
\({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {\left( {x - 16} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {z^2} \Leftrightarrow 4x - y - z = 39\,\,\,\left( 3 \right)\)
Giải hệ phương trình từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta tìm được tọa độ tâm\(M\left( {12;5;4} \right)\)
Bán kính \(R = MC = \sqrt {{{\left( {12 - 8} \right)}^2} + {{\left( {5 - 9} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = 6\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Độ dài đoạn thẳng \(SC = \sqrt {{8^2} + {4^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} = 12\)đơn vị độ dài.
Để tính độ dài cung \(CD\), ta cần tìm góc \(\varphi = \widehat {CMD}\)
Ta có: \(\overrightarrow {MC} = \left( { - 4;4; - 2} \right)\)và \(\overrightarrow {MD} = \left( {4;2; - 4} \right)\)\( \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} }}{{\left| {\overrightarrow {MC} } \right|.\left| {\overrightarrow {MD} } \right|}} = \frac{{ - 16 + 8 + 8}}{{6.6}} = 0 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}\)
Độ dài cung đơn vị độ dài
Quãng đường thực tế là \(S = \left( {12 + 3\pi } \right).5 \approx 107\)(m) nên mệnh đề d) đúng