Dũng là học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần luyện tập giải khối rubik \(3 \times 3\), bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau:

Thời gian giải rubik (giây)	\(\left[ {8;10} \right)\)	\(\left[ {10;12} \right)\)	\(\left[ {12;14} \right)\)	\(\left[ {14;16} \right)\)	\(\left[ {16;18} \right)\)
Số lần	4	6	8	4	3

 Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Nhận thấy hai đường thẳng \(SD\) và \(AB\) chéo nhau.

Gọi \(M,N,O\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;CD,AC\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel CD\\CD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB\parallel \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {M,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ\(MH \bot SM,\left( {H \in SM} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot CD\;\left( {Do\;CD \bot \left( {SOM} \right),OH \subset \left( {SOM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

Tam giác \(SOM\)vuông tại \(O\)\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{\frac{{7{a^2}}}{2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} = \frac{{30}}{{7{a^2}}}\)

Khi đó $OH=\frac{a\sqrt{210}}{30}\Rightarrow d\left(AB,SD\right)=2OH=a\sqrt{\frac{14}{15}}\approx \boxed{\mathrm{0,97}}$.

Tọa độ quả bóng bay thứ nhất và thứ hai lần lượt là: \(A\left( {200;\, - 200;\,50} \right)\) và \(B\left( { - 100;\,100;\,40} \right)\)

Minh họa như sau:

Bài toán trở về khi \(MA + MB\) là nhỏ nhất thì ta cần tính \(OM\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(B\) xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và \(B'\) là điểm đối xứng của \(B\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó \(H\left( { - 100;\,100;\,0} \right)\) suy ra \(B'\left( { - 100;\,100;\, - 40} \right)\)

Ta có: \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\). Dấu bằng xảy ra khi \(M \equiv {M_0}\left( {a;\,b;\,0} \right)\)

Khi đó: \(\overrightarrow {A{M_0}}  = \left( {a - 200;\,b + 200;\, - 50} \right)\); \(\overrightarrow {AB'}  = \left( { - 300;\,300;\, - 90} \right)\)

Do \(\overrightarrow {A{M_0}} \parallel \overrightarrow {AB'} \) nên \(\frac{{a - 200}}{{ - 300}} = \frac{{b + 200}}{{300}} = \frac{5}{9} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{100}}{3}\\b =  - \frac{{100}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {M_0}\left( {\frac{{100}}{3};\, - \frac{{100}}{3};\,0} \right)\)

Vậy \(O{M_0} = \sqrt {{{\left( {\frac{{100}}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{100}}{3}} \right)}^2} + {0^2}}  \approx 47\) nên khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm thả hai quả bóng bay này khoảng  mét.