Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {3;\,1;\, - 1} \right)\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là :

Nhận thấy hai đường thẳng \(SD\) và \(AB\) chéo nhau.

Gọi \(M,N,O\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;CD,AC\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel CD\\CD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB\parallel \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {M,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ\(MH \bot SM,\left( {H \in SM} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot CD\;\left( {Do\;CD \bot \left( {SOM} \right),OH \subset \left( {SOM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

Tam giác \(SOM\)vuông tại \(O\)\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{\frac{{7{a^2}}}{2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} = \frac{{30}}{{7{a^2}}}\)

Khi đó $OH=\frac{a\sqrt{210}}{30}\Rightarrow d\left(AB,SD\right)=2OH=a\sqrt{\frac{14}{15}}\approx \boxed{\mathrm{0,97}}$.

Đặt hệ trục như hình vẽ

Thể tích khối lặp phương có cạnh bằng \(10\)cm là: \({V_1} = {10^3} = 1000\)(cm3)

Tổng chiều cao của đồ lưu niệm là \(17\) cm, phần khối lập phương cao \(10\) cm

Do đó, chiều cao của chỏm cầu là: \(h = 17 - 10\)

Gọi \(A\)là giao điểm của khối cầu và khối lập phương. Suy ra \({x_A} = 2\)

Phương trình khối cầu: \[{x^2} + {y^2} = {5^2} \Rightarrow {y^2} = 25 - {x^2}\]

Thể tích khối chỏm cầu là: \({V_2} = \pi \int\limits_{ - 5}^2 {\left( {25 - {x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{392\pi }}{3}\)(cm3)

Tổng thể tích của đồ lưu niệm: $V=V_1+V_2=1000+\frac{392\pi }{3}\approx \boxed{1411}$ (cm³)