Một chiếc xe thể thao vi phạm luật giao thông lao vút qua chốt kiểm soát. Kể từ lúc bị phát hiện, người lái xe tiếp tục đạp ga tăng tốc bỏ trốn với vận tốc thay đổi theo quy luật là hàm số \({v_1}\left( t \right) = 10 + t\)(m/s) (trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc xe qua chốt). Đúng \(5\) giây sau khi chiếc xe vi phạm lướt qua, tiếng còi hụ vang lên, một chiếc xe tuần tra của Cảnh sát giao thông (CSGT) lập tức xuất phát từ chốt kiểm soát để truy bắt. Với động cơ phân khối lớn, xe CSGT bứt tốc mạnh mẽ với vận tốc\({v_2}\left( t \right) = 3,6{t^2}\)(m/s) (trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc xe CSGT bắt đầu lăn bánh)

Nhận thấy hai đường thẳng \(SD\) và \(AB\) chéo nhau.

Gọi \(M,N,O\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;CD,AC\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel CD\\CD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB\parallel \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {M,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ\(MH \bot SM,\left( {H \in SM} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot CD\;\left( {Do\;CD \bot \left( {SOM} \right),OH \subset \left( {SOM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

Tam giác \(SOM\)vuông tại \(O\)\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{\frac{{7{a^2}}}{2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} = \frac{{30}}{{7{a^2}}}\)

Khi đó $OH=\frac{a\sqrt{210}}{30}\Rightarrow d\left(AB,SD\right)=2OH=a\sqrt{\frac{14}{15}}\approx \boxed{\mathrm{0,97}}$.

Đặt hệ trục như hình vẽ

Thể tích khối lặp phương có cạnh bằng \(10\)cm là: \({V_1} = {10^3} = 1000\)(cm3)

Tổng chiều cao của đồ lưu niệm là \(17\) cm, phần khối lập phương cao \(10\) cm

Do đó, chiều cao của chỏm cầu là: \(h = 17 - 10\)

Gọi \(A\)là giao điểm của khối cầu và khối lập phương. Suy ra \({x_A} = 2\)

Phương trình khối cầu: \[{x^2} + {y^2} = {5^2} \Rightarrow {y^2} = 25 - {x^2}\]

Thể tích khối chỏm cầu là: \({V_2} = \pi \int\limits_{ - 5}^2 {\left( {25 - {x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{392\pi }}{3}\)(cm3)

Tổng thể tích của đồ lưu niệm: $V=V_1+V_2=1000+\frac{392\pi }{3}\approx \boxed{1411}$ (cm³)