Trên mặt đất bằng phẳng có ba chiếc cọc với ba chân cọc \(A,\,B,\,C\) tạo thành một tam giác vuông cân tại \(A\) với \(AB = 60\)cm. Ba đỉnh cọc \(A',\,B',\,C'\) có độ cao lần lượt là \(50\)cm, \(50\)cm và \(120\)cm. Người ta muốn thay quả cầu hiện tại bằng một quả cầu mới có kích thước nhỏ nhất có thể sao cho mặt cầu này vẫn chạm được vào cả ba đỉnh cọc \(A',\,B',\,C'\)(để không bị lọt hẳn xuống dưới). Hãy tính bán kính \(R\) của quả cầu mới này

Xét mệnh đề a)

\({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} {\rm{d}}x = \frac{9}{2} = 4,5\)nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

\[{S_2} = \int\limits_0^3 {x{\rm{d}}x}  + \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)} {\rm{d}}x\]nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Ta có: \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} {\rm{d}}x = \frac{9}{2} = 4,5\) và \[{S_2} = \int\limits_0^3 {x{\rm{d}}x}  + \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{37}}{6}\]

Khi đó \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{\frac{{37}}{6}}} = \frac{{27}}{{37}}\) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là: \({S_{tong}} = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{32}}{3}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thằng \(y = ax\) là:

\( - {x^2} + 4x = ax \Leftrightarrow {x^2} + \left( {a - 4} \right)x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {x - \left( {4 - a} \right)} \right] = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 4 - a}\end{array}} \right.\)

Suy ra: \[{S_1} = \int\limits_0^{4 - a} {\left[ {\left( { - {x^2} + 4x} \right) - ax} \right]{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{4 - a} {\left[ { - {x^2} + \left( {4 - a} \right)x} \right]{\rm{d}}x} \]

\[ = \left| {\left[ { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{\left( {4 - a} \right){x^2}}}{2}} \right]} \right|_0^{4 - a} =  - \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{3} + \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{2} = \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{6}\]

Để đường thẳng chia hình phẳng ban đầu thành hai phần có diện tích bằng nhau thì phần nằm trên \({S_1}\)phải bằng một nửa tổng diện tích \(\left( S \right)\):

\({S_1} = \frac{1}{2}S \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{32}}{3} \Rightarrow a \approx 0,8251... \in \left( {0;1} \right)\) nên mệnh đề d) đúng

Gọi \(A\) là biến cố người xét nghiệm mắc bệnh.

Ta đó \(P\left( A \right) = 0,05;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,05 = 0,95\).

Gọi \(B\) là biến cố người xét nghiệm RT-PCR cho kết quả dương tính

Tỉ lệ dương tính giả là \(P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,05\) và tỉ lệ âm tính giả là \(P\left( {\overline B \mid A} \right) = 0,13\)

Xét mệnh đề a)

Tỉ lệ dương tính thật là: \(P\left( {B\mid A} \right) = 1 - P\left( {\overline B \mid A} \right) = 1 - 0,13 = 0,87 = 87\% \) nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Tỉ lệ xét nghiệm RT-PCR có kết quả dương tính là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,05.0,87 + 0,95.0,05 = 0,091 = 9,1{\rm{\% }}\) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Tỉ lệ người nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR dương tính là:

\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,05.0,87}}{{0,091}} \approx 47,8{\rm{\% }}\) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Tỉ lệ người không nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR âm tính là: \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline {AB} } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B \mid \overline A } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,95.0,95}}{{1 - 0,091}} \approx 99,28{\rm{\% }}\)

\(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,091;\,\,P\left( {\overline B \mid \overline A } \right) = 1 - P\left( {B\mid \overline A } \right) = 1 - 0,05 = 0,95\) nên mệnh đề d) sai