Cho nửa đường tròn 
đường kính 
. Qua điểm 
thuộc nửa đường tròn (khác với 
) kẻ tiếp tuyến 
với nửa đường tròn. Từ điểm 
và 
kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \(M\) và \(N\). Từ hạ 
vuông góc với tại 
.
(a) Chứng minh bốn điểm 
cùng thuộc một đường tròn.
(b) Khi 
cố định, chứng minh rằng: 
và xác định vị trí của trên nửa đường tròn 
để 
lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét tứ giác 
, có:
thuộc đường tròn đường kính 
thuộc đường tròn đường kính 
.
Do đó bốn điểm thuộc đường tròn đường kính 
.
Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Xét 
có 
là đường trung tuyến ứng với cạnh 
và 
Suy ra vuông tại \[C.\]
Xét 
và 
có 
(vì 
).
Xét tam giác vuông 
có: 
nên 
.
Suy ra: 
(cùng phụ 
).
Suy ra: 
Do đó: 
, suy ra: 
.
Vì \(AM \bot d\,;\,\,OC \bot d\) nên \[AM\,{\rm{//}}\,OC\] suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\).
Ta có 
suy ra 
cân tại O
Suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {ACO}\) mà \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\) nên \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)
Xét 
và 
có
là cạnh chung
Suy ra \(\Delta AMC = \Delta AHC\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra 
Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta HCB = \Delta CNB\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra 
Suy ra 
Ta có 
Suy ra \(AM.BN \le {R^2}\) nên \[Max\left( {AM \cdot BN} \right) = {R^2}\,\]
Khi 
vuông cân tại 
.
Khi đó là điểm chính giữa cung AB.
Vậy lớn nhất khi là điểm chính giữa cung 
.
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập