Một khu đất dạng hình chữ nhật có chu vi \[270\] m. Biết chiều dài gấp \[5\] lần chiều rộng. Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là chiều dài, chiều rộng của khu đất. Cho các khẳng định sau:

(i) Từ dữ kiện khu đất có chu vi \[270\] m ta có phương trình \[x + y = 270\].

(ii) Từ dữ kiện khu đất có chiều dài gấp \[5\] lần chiều rộng ta có phương trình \[x = 5y\].

(iii) Hệ phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\) là \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 270\\x = 5y.\end{array} \right.\]

Có bao nhiêu khẳng định đúng?

Đáp án đúng là: C

Đổi 1 giờ 30 phút = 90 phút.

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > 90, phút).

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) bể.

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy 90 phút nên ta có phương trình: \(90.\frac{1}{x} + 90.\frac{1}{y} = 1\) hay \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\) (1).

Nếu mở riêng vòi I trong 15 phút và vòi II trong 20 phút thì chỉ được \(\frac{1}{5}\) nên ta có phương trình: \(\frac{{15}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\\\frac{{15}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{225}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{150}}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 225\\y = 150\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy vòi thứ I chảy một mình trong 225 phút = 3,75 giờ thì đầy bể.

Vòi thứ II chảy một mình trong 150 phút = 2,5 giờ thì đầy bể.

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y là thời gian làm một mình để hoàn thành công việc của người thứ nhất và người thứ hai (0 < x, y, ngày).

Trong 1 ngày người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Hai công nhân làm chung thì hoàn thành công việc trong 4 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\) (1).

Thời gian người thứ nhất làm một mình xong nửa công việc là \(\frac{x}{2}\) ngày.

Thời gian người thứ hai làm một mình xong nửa công việc là \(\frac{y}{2}\) ngày.

Do đó, ta có phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 9\) hay x + y = 18 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\\x + y = 18\end{array} \right.\).

Từ phương trình (1) có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\) suy ra \(\frac{{xy}}{{x + y}} = 4\) hay 4(x + y) = xy hay xy = 72.

Thay x = 18 – y vào xy = 72 ta được (18 – y)y = 72 suy ra y² – 18y + 72 = 0.

Suy ra y = 12 hoặc y = 6 (thỏa mãn).

Với y = 12 thì x = 6 .

Với y = 6 thì x = 12 .

Do người thứ nhất làm chậm hơn người thứ hai nên y = 6 và x = 12 thỏa mãn.

Vậy người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày, và người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì hoàn thành công việc.