Hai nhân viên bán bảo hiểm đang cạnh tranh nhau giải thưởng "Nhân viên bán hàng có phong độ ổn định nhất năm". Số hợp đồng kí được mỗi tháng của hai người được ghi nhận trong bảng dưới đây.

Biết rằng trong tháng cuối, nhân viên \(A\) đã hài lòng với kết quả của mình còn nhân viên \(B\)vẫn tiếp tục đi tìm thêm khách hàng nên chưa có số liệu. Hỏi trong tháng cuối cùng nhân viên \(B\)cần bán được bao nhiêu hợp đồng để giành được giải thưởng trên?

Đáp án: \(16\).

Gọi số hợp đồng bán được của nhân viên \(B\) trong tháng \(12\) là \(x(x \in \mathbb{N}).\)

Số hợp đồng trung bình mà nhân viên \(A\) bán được trong \(1\) tháng là

\({\bar x_A} = \frac{{7 + 8 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 10 + 13 + 14 + 16 + 17 + 18}}{{12}} = 11,75.\)

Số hợp đồng trung bình mà nhân viên \(B\) bán được trong \(1\) tháng là

\({\bar x_B} = \frac{{x + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 10 + 2 \cdot 11 + 12 + 3 \cdot 16}}{{12}} = \frac{x}{{12}} + 10,25.\)

Phương sai số hợp đồng của nhân viên \(A\) là

\(s_A^2 = \frac{{{{\left( {7 - 11,75} \right)}^2} + {{\left( {8 - 11,75} \right)}^2} + 2{{\left( {9 - 11,75} \right)}^2} + 3{{\left( {10 - 11,75} \right)}^2} + \ldots + {{\left( {18 - 11,75} \right)}^2}}}{{12}} = 12,6875.\)

Phương sai số hợp đồng của nhân viên \(B\) là

\(s_B^2 = \frac{{{{\left( {x - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2} + 3{{\left( {7 - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2} + 2{{\left( {10 - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2}}}{{12}}\) \( + \frac{{2{{\left( {11 - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2} + {{\left( {12 - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2} + 3{{\left( {16 - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2}}}{{12}}\)

\( = \frac{1}{{12}}\left[ {{{\left( {\frac{{11}}{{12}}x - 10,25} \right)}^2} + 3{{\left( {\frac{x}{{12}} + 3,25} \right)}^2} + 2{{\left( {\frac{x}{{12}} + 0,25} \right)}^2} + 2{{\left( {\frac{x}{{12}} - 0,75} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{{12}} - 1,75} \right)}^2} + 3{{\left( {\frac{x}{{12}} - 5,75} \right)}^2}} \right]\)

\( = \frac{1}{{12}}\left[ {\frac{{11}}{{12}}{x^2} - \frac{{41}}{2}x + \frac{{961}}{4}} \right]\)

Để nhân viên \(B\) giành được giải thưởng "Nhân viên bán hàng có phong độ ổn định nhất năm" tức là nhân viên \(B\) có số hợp đồng bán được ổn định hơn thì \(s_B^2 < s_A^2\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{12}}\left[ {\frac{{11}}{{12}}{x^2} - \frac{{41}}{2}x + \frac{{961}}{4}} \right] < 12,6875\)

\( \Leftrightarrow \frac{{11}}{{12}}{x^2} - \frac{{41}}{2}x + 88 < 0\)

\( \Leftrightarrow 5,79 < x < 16,57.\)

Kết hợp điều kiện suy ra \(x \in \{ 6;7; \ldots ;15;16\} \) thỏa mãn điều kiện.