(3,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn, cân tại \(A\). Kẻ đường cao \(AH\) \(\left( {H \in BC} \right)\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) và lấy điểm \(K\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(HK\).
a) Chứng minh tứ giác \(AKCH\) là hình chữ nhật và \(HM = \frac{1}{2}AB\).
b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(BK\). Chứng minh tứ giác \(ABHK\) là hình bình hành và \(OM\,{\rm{//}}\,BC\).
c) Kẻ đường cao \(CF\) của tam giác \(ABC\) \(\left( {F \in AB} \right)\). Đường thẳng \(FH\) cắt \(KC\) tại \(P\); đường thẳng \(FK\) cắt \(BC\) tại \(Q\). Tứ giác \(PQFC\) là hình gì? Vì sao?
(3,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn, cân tại \(A\). Kẻ đường cao \(AH\) \(\left( {H \in BC} \right)\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) và lấy điểm \(K\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(HK\).
a) Chứng minh tứ giác \(AKCH\) là hình chữ nhật và \(HM = \frac{1}{2}AB\).
b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(BK\). Chứng minh tứ giác \(ABHK\) là hình bình hành và \(OM\,{\rm{//}}\,BC\).
c) Kẻ đường cao \(CF\) của tam giác \(ABC\) \(\left( {F \in AB} \right)\). Đường thẳng \(FH\) cắt \(KC\) tại \(P\); đường thẳng \(FK\) cắt \(BC\) tại \(Q\). Tứ giác \(PQFC\) là hình gì? Vì sao?
Câu hỏi trong đề: Bộ 3 đề thi giữa kì 1 Toán 8 năm 2026-2027 Hà Nội (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)
Tứ giác \(AKCH\) có \(M\) là trung điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(HK\) nên \(AKCH\) là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
Mặt khác, \(AH \bot BC\) tại \(H\) nên \(\widehat {AHC} = 90^\circ \).
Do đó, hình bình hành \(AKCH\) là hình chữ nhật.
Suy ra \(HM = \frac{1}{2}AC\). Mà \({\rm{\Delta }}ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\), từ đó \(HM = \frac{1}{2}AB\).
b) Vì \(AKCH\) là hình chữ nhật nên \(AK\,{\rm{//}}\,HC\) và \(AK = HC\).
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến nên \(H\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra \(BH = HC\) và \(B,\,\,H,\,\,C\) thẳng hàng.
Do đó \(AK\,{\rm{//}}\,BH\) và \(AK = BH\) nên tứ giác \(ABHK\) là hình bình hành.
Khi đó, giao điểm \(O\) của hai đường chéo \(AH\) và \(BK\) là trung điểm của \(AH\).
Vì \(AKCH\) là hình chữ nhật có \(M\) là giao điểm hai đường chéo nên \(MA = MH\).
Tam giác \(MAH\) cân tại \(M\) có \(O\) là trung điểm của \(AH\) nên đường trung tuyến \(MO\) đồng thời là đường cao, suy ra \(MO \bot AH\).
Mà \(BC \bot AH\) nên \(OM\,{\rm{//}}\,BC\).
c)
Xét \({\rm{\Delta }}AFC\) vuông tại \(F\) (do \(CF \bot AB\)) có \(FM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \(FM = \frac{1}{2}AC\).
Vì \(AKCH\) là hình chữ nhật nên \(AC = HK\), suy ra \(FM = \frac{1}{2}HK\).
Xét \({\rm{\Delta }}FHK\) có đường trung tuyến \(FM = \frac{1}{2}HK\) nên \({\rm{\Delta }}FHK\) vuông tại \(F\), suy ra \(FK \bot FH\) hay \(QF \bot HP\) tại \(F\).
Mặt khác, vì \(AKCH\) là hình chữ nhật nên \(KC \bot BC\), hay \(PC \bot HQ\) tại \(C\).
Xét \({\rm{\Delta }}PHQ\) có hai đường cao \(QF\) và \(PC\) cắt nhau tại \(K\) nên \(K\) là trực tâm của \({\rm{\Delta }}PHQ\), suy ra \(HK \bot PQ\).
Vì tứ giác \(ABHK\) là hình bình hành nên \(HK\,{\rm{//}}\,AB\). Mà \(CF \bot AB\) nên \(CF \bot HK\).
Ta có \(PQ \bot HK\) và \(CF \bot HK\), suy ra \(PQ\,{\rm{//}}\,CF\), do đó tứ giác \(PQFC\) là hình thang.
Trong \({\rm{\Delta }}BFC\) vuông tại \(F\), \(H\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC\) nên \(HF = HC\).
Do đó \({\rm{\Delta }}HFC\) cân tại \(H\), suy ra \(\widehat {HFC} = \widehat {FCH}\).
Mặt khác, \(QF \bot FH\) và \(CP \bot CH\) nên:
\(\widehat {QFC} = 90^\circ + \widehat {HFC} = 90^\circ + \widehat {FCH} = \widehat {PCF}\).
Vậy hình thang \(PQFC\) có hai góc kề đáy \(FC\) bằng nhau nên \(PQFC\) là hình thang cân.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có:
\({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {\left( {x + y} \right)^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 3xyz\)
\( = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)\)
\( = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\).
Theo đề bài, ta có:
\(\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right) = 101\) (1).
Mặt khác:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = \left( {\frac{1}{2}} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0{\rm{\;}}\) (với mọi \(x,\,\,y,\,\,z\)).
Kết hợp với (1) và \(x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{Z}\), suy ra \(x + y + z\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx\) là các ước nguyên dương của \(101\).
Vì \(101\) là số nguyên tố nên ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(x + y + z = 1\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = 101\).
Mà \({\left( {x + y + z} \right)^2} - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right) = 3\left( {xy + yz + zx} \right)\),
suy ra \(3\left( {xy + yz + zx} \right) = {1^2} - 101 = - 100\).
Vì \( - 100\) không chia hết cho \(3\) và \(x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{Z}\) nên trường hợp này vô nghiệm.
Trường hợp 2: \(x + y + z = 101\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = 1\).
Nhận thấy bộ số nguyên \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {34;\,\,34;\,\,33} \right)\) thỏa mãn điều kiện trên.
Vậy \(S = x + y + z = 101\).
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Chọn C.
Trong tứ giác \(ABCD\) có:
\(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 360^\circ \) suy ra \(\widehat {C\,} = 360^\circ - \left( {\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {D\,}} \right) = 360^\circ - \left( {75^\circ + 195^\circ } \right) = 90^\circ \).
Vậy \(\widehat {C\,} = 90^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập