(1,0 điểm)

Một mảnh vườn hình vuông có cạnh bằng \(a\) (m) người ta làm một lối đi xung quanh vườn rộng \(2\) m như hình vẽ.

 

a) Viết biểu thức biểu thị diện tích phần còn lại của mảnh vườn.

b) Tìm \(a\) biết diện tích còn lại của mảnh vườn là \(144\) m².

Ta có: \(5{x^2} + 5{y^2} + 8xy + 2x - 2y + 2 = 0\)

\(\left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0\)

\(4{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\).

Ta có: \(4{\left( {x + y} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\,\,y\).

Do đó, \(x + y = 0\), \(x + 1 = 0\), \(y - 1 = 0,\) tức là \(x =  - 1\), \(y = 1\).

Khi đó \(M = {\left( { - 1 + 1} \right)^{2024}} + {\left( { - 1 + 1} \right)^{2025}} + {\left( {1 - 2} \right)^{2026}} = 0 + 0 + {\left( { - 1} \right)^{2026}} = 1\).

Vậy \(M = 1\).

1) Tứ giác \(AMCN\) có hai đường chéo \(AC\) và \(MN\) cắt nhau tại \(H\) là trung điểm của mỗi đường nên \(AMCN\) là hình bình hành.

Mà \(MN \bot AC\) nên hình bình hành \(AMCN\) là hình thoi.

2) Ta có \(AB \bot AC\) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)) và \(MN \bot AC\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,MN\).

Vì \(AMCN\) là hình thoi nên \(AN\,{\rm{//}}\,CM\), mà \(M\) thuộc \(BC\) nên \(AN\,{\rm{//}}\,CM\) hay \(AN\,{\rm{//}}\,BM.\)

Tứ giác \(ABMN\) có \(AB\,{\rm{//}}\,MN\) và \(AN\,{\rm{//}}\,BM\) nên \(ABMN\) là hình bình hành.

3) Vì \(AMCN\) là hình thoi nên \(CN\,{\rm{//}}\,AM\), tức là \(NI\,{\rm{//}}\,AM\).

Vì \(ABMN\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,MN\) và \(AB = MN\), suy ra \(AI\,{\rm{//}}\,MN\).

Tứ giác \(AMNI\) có \(NI\,{\rm{//}}\,AM\) và \(NI\,{\rm{//}}\,AM\) nên \(AMNI\) là hình bình hành.

Suy ra \(AI = MN\).

Do đó \(AI = AB\).

Mà \(A\) thuộc \(BI\) nên \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BI\).

4)

Vì \(ABMN\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó \(O\) là trung điểm của \(AM\).

Vì \(K\) là trung điểm của \(AB\), \(H\) là trung điểm của \(MN\) và \(AB = MN\) (do \(ABMN\) là hình bình hành) nên \(AK = HM = \frac{{AB}}{2}\).

Lại có \(AK\,{\rm{//}}\,HM\) (vì \(AB\,{\rm{//}}\,MN\)) nên tứ giác \(AKMH\) là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo \(AM\) và \(KH\) cắt nhau tại trung điểm của \(AM\), tức là \(KH\) đi qua \(O\).

Vậy ba điểm \(H,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.