(0,5 điểm) Cho biểu thức \(M = \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{2024}}}} + \frac{1}{{{5^{2025}}}}\). Chứng minh rằng: \(M < \frac{1}{2}\).
(0,5 điểm) Cho biểu thức \(M = \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{2024}}}} + \frac{1}{{{5^{2025}}}}\). Chứng minh rằng: \(M < \frac{1}{2}\).
Câu hỏi trong đề: Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 7 năm 2026-2027 Hà Nội (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(M = \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \frac{1}{{{5^{2024}}}} + \frac{1}{{{5^{2025}}}}\).
Nhân cả hai vế với 5 ta được:
\(5M = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{5^{2024}}}}\).
Lấy \(5M\) trừ đi \(M\), ta được:
\(5M - M = \left( {1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{5^{2024}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \frac{1}{{{5^{2025}}}}} \right)\).
\(4M = 1 - \frac{1}{{{5^{2025}}}}\)
\(M = \frac{{1 - \frac{1}{{{5^{2025}}}}}}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{{4 \cdot {5^{2025}}}}\).
Vì \(\frac{1}{{4 \cdot {5^{2025}}}} > 0\) nên:
\(M < \frac{1}{4}\)
Mà \(\frac{1}{4} < \frac{1}{2}\), suy ra:
\(M < \frac{1}{2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Số tiền Lan đã dùng để mua vở là:
\(360{\mkern 1mu} \,\,000 \cdot 25\% = 360{\mkern 1mu} \,\,000 \cdot \frac{{25}}{{100}} = 90\,\,{\mkern 1mu} 000\) (đồng).
b) Số tiền Lan còn lại sau khi mua vở là:
\(360{\mkern 1mu} \,\,000 - 90{\mkern 1mu} \,\,000 = 270{\mkern 1mu} \,\,000\) (đồng).
Giá tiền của chiếc ba lô sau khi được giảm giá 30% là:
\(450{\mkern 1mu} \,\,000 \cdot \left( {100\% - 30\% } \right) = 450{\mkern 1mu} \,\,000 \cdot 70\% = 315\,\,{\mkern 1mu} 000\) (đồng).
Vì \(270\,\,{\mkern 1mu} 000 < 315\,\,{\mkern 1mu} 000\) nên với số tiền còn lại, Lan không đủ tiền mua chiếc ba lô.
Số tiền Lan còn thiếu là:
\(315\,\,000 - 270{\mkern 1mu} \,\,000 = 45{\mkern 1mu} \,\,000\) (đồng).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
a) \(\frac{{11}}{2}x + \frac{1}{6} = \frac{{13}}{{12}}\) \(\frac{{11}}{2}x = \frac{{13}}{{12}} - \frac{1}{6}\) \(\frac{{11}}{2}x = \frac{{11}}{{12}}\) \(x = \frac{{11}}{{12}}:\frac{{11}}{2}\) \(x = \frac{{11}}{{12}} \cdot \frac{2}{{11}}\) \(x = \frac{1}{6}\). Vậy \(x = \frac{1}{6}\). |
b) \(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}:x = \frac{2}{5}\) \(\frac{3}{4}:x = \frac{2}{5} - \frac{1}{4}\) \(\frac{3}{4}:x = \frac{3}{{20}}\) \(x = \frac{3}{4}:\frac{3}{{20}}\) \(x = 5\). Vậy \(x = 5\).
|
c) \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0\)
\({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{{25}} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\)
Trường hợp 1: \(x - \frac{1}{2} = \frac{3}{5}\) suy ra \(x = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{{6 + 5}}{{10}} = \frac{{11}}{{10}}\).
Trường hợp 2: \(x - \frac{1}{2} = - \frac{3}{5}\) suy ra \(x = - \frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{{ - 6 + 5}}{{10}} = - \frac{1}{{10}}\).
Vậy \(x \in \left\{ { - \frac{1}{{10}};\,\,\frac{{11}}{{10}}} \right\}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập