Cho hàm số  y=x³-3x²+4 có đồ thị (C) . Gọi d  là đường thẳng qua  I(1; 2) với hệ số góc k . Có bao nhiêu   giá trị nguyên của k  để d  cắt (C)  tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I  là trung điểm của đoạn thẳng  AB là

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

$x^3+mx+2=0$

Vì x=0  không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với

$m=-x^2-\frac{2}{x}$. Xét hàm số:

 $$\begin{gathered} f\left(x\right)=-x^2-\frac{2}{x} với x\ne 0, \\ suy ra f^{\text{'}}\left(x\right)=-2x+\frac{2}{x^2}=\frac{-2x^3+2}{x^2}. vậy f^{\text{'}}\left(x\right)=0 khi x=1. \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất  khi và chỉ khi m> -3.

 Vậy m>-3 thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Ta có x³ - 3x² + 1 - m = 0   (1)  là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số  y = x³-3x²+1 và y = m  (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox).

Xét y = x³-3x²+1 .

Tính y’ = 3x²- 6x

Ta có

$y^{\text{'}}=0\iff 3x^2-6x=0\iff$

Ta có x = 1 thì y = -1

Số nghiệm của phương trình  chính là số giao điểm của đồ thị y = x³-3x²+1 và đường thẳng y = m .

Do đó, yêu cầu bài toán khi và chỉ khi -3 < m < -1

Chọn C.