Cho hàm số $y=x^4-2x^2$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu đường thẳng d có đúng ba điểm chung với đồ thị (C) và các điểm chung có hoành độ $x_1, x_2, x_3$ thỏa mãn $x_1^3+x_2^3+x_3^3=-1$?

Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y=kx+m. Phương trình hoành độ giao điểm:

$$\begin{gathered} x^4-2x^2=kx+m \\ \iff x^4-2x^2-kx-m=0 \end{gathered}$$ 

Theo giả thiết đường thẳng d có đúng ba điểm chung với đồ thị (C) và các điểm chung có hoành độ $x_1, x_{2 }, x_3$ nên $x^4-2x^2-kx-m={\left(x-x_1\right)}^2\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$. Do đó d là tiếp tuyến của (C) có hoành độ

Phương trình hoành độ giao điểm lúc này là:

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt $x_2, x_3\#x_1$

và $x_1^3+x_2^3+x_3^3=-1$

Vì vậy

Vì vậy có duy nhất một đường thẳng thoả mãn là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=\frac{-11+\sqrt{65}}{22}$.

Chọn đáp án B.

*Chú ý dạng toán này thuộc bài học tiếp tuyến cắt đồ thị hàm số.