Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng 2, đường cao bằng 1. Tìm đường kính của  mặt cầu chứa điểm S và chứa đường tròn đáy hình nón đã cho

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu.

Đường tròn đáy của hình nón có tâm H bán kính r.

Do H là hình chiếu của S và O trên mặt đáy của hình nón nên S, H, O thẳng hàng.

Hình nón có độ dài đường sinh l=2, đường cao h=1.

Suy ra $r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{3}$

Góc ở đỉnh của hình nón là $ASB=2ASH=120°$ nên suy ra $H\in SO$ (như hình vẽ).

Trong tam giác OAH vuông tại H ta có:

$$\begin{gathered} O{A}^2=O{H}^2+H{A}^2 \\ \iff R^2={\left(R-h\right)}^2+r^2 \\ \iff R=\frac{h^2+r^2}{2h}=2 \end{gathered}$$

Vậy đường kính mặt cầu chứa điểm S và đường tròn đáy hình nón bằng 4.

Chọn đáp án A.

Cách 2:

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu.

Đường tròn đáy của hình nón có tâm H bán kính r.

Do H là hình chiếu của S và O trên mặt đáy của hình nón nên S, H, O thẳng hàng.

Hình nón có độ dài đường sinh l=2, đường cao h=1. (như hình vẽ)

Trong tam giác SAH vuông tại H ta có

$\cos ASH=\frac{SH}{SA}=\frac{1}{2}\Rightarrow ASH=60°$

Xét tam giác SOA có OS=OA=R và $OSA=60°$

Suy ra tam giác SOA đều.

Do đó R=OA=SA=2

Vậy đường kính mặt cầu chứa điểm S và đường tròn đáy hình nón bằng 4.

Chọn đáp án A.