Câu hỏi:

27/04/2020 1,536

Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại hai số phức phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn đồng thời các phương trình $|z - 1| = |z - i|$ và $|z + 2 m| = |m + 1|$ . Tổng tất cả các phần tử của S là

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ Đề thi THPT Quốc gia chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục môn Toán 2019 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1 (cách hình học): Gọi $M (x; y) (x . y \in ℝ)$ là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Có: $|z + 2 m| = m + 1 \geq 0$

TH1: $m + 1 = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow m = - 1 \Rightarrow z = 2$ (loại) vì không thỏa mãn phương trình: $|z - 1| = |z - i|$

TH2: $m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Theo bài ra ta có:

$\{\begin{cases} |z - 1| = |z - i| \\ |z + 2 m| = m + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |(x - 1) + y i| = |x + (y - 1) i| \\ |(x + 2 m) + y i| = m + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + y^{2} = x^{2} + {(y - 1)}^{2} \\ {(x + 2 m)}^{2} + y^{2} = {(m + 1)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y = 0 (1) \\ {(x + 2 m)}^{2} + y^{2} = {(m + 1)}^{2} (2) \end{cases} (*)$

Từ (1) suy ra: tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn của số phức z là đường thẳng: $(∆) : x - y = 0$

Từ (2) suy ra: tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn của số phức z là đường tròn

$(C) : \{\begin{cases} T â m I (- 2 m; 0) \\ b k R = m + 1 \end{cases}$

Khi đó: $M \in ∆ \cap (C) \Rightarrow$ số giao điểm M chính là số nghiệm của hệ phương trình (*).

Để tồn tại hai số phức phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn ycbt $\Leftrightarrow (C)$ cắt $∆$ tại hai điểm phân biệt

$\Leftrightarrow d (I, (∆)) < R \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{|- 2 m|}{\sqrt{2}} < m + 1 \\ m + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - (m + 1) < \sqrt{2} m < m + 1 \\ m + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - \sqrt{2} < m < 1 + \sqrt{2} \\ m > - 1 \end{cases}$

Vì $m \in ℝ \Rightarrow m \in S \{0; 1; 2\}$ . Vậy tổng các phần tử của S là 0+1+2=3.

Cách 2 (cách đại số):

Giả sử: $z = x + y i (x; y \in ℝ)$

Có: $|z + 2 m| = m + 1 \geq 0$

TH1: $m + 1 = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow m = - 1 \Rightarrow z = 2$ (loại) vì không thỏa mãn phương trình: $|z - 1| = |z - i|$

TH2: $m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ (1)

Theo bài ra ta có:

$\{\begin{cases} |z - 1| = |z - i| \\ |z + 2 m| = m + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |(x - 1) + y i| = |x + (y - 1) i| \\ |(x + 2 m) + y i| = m + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + y^{2} = x^{2} + {(y - 1)}^{2} \\ {(x + 2 m)}^{2} + y^{2} = {(m + 1)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = x \\ {(x + 2 m)}^{2} + x^{2} = {(m + 1)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = x \\ 2 x^{2} + 4 m x + 3 m^{2} - 2 m + 1 = 0 (*) \end{cases}$

Để tồn tại hai số phức phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn ycbt PT (*) có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow ∆' = 4 m^{2} - 2 (3 m^{2} - 2 m - 1) = 2 (- m^{2} + 2 m + 1) > 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{2} < m < 1 + \sqrt{2} (2)$

Kết hợp điều kiện (1) và (2), $m \in ℝ \Rightarrow m \in S = \{0; 1; 2\}$

Vậy tổng các phần tử của S là: 0+1+2=3

Chọn đáp án D.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

A. $(α) : z = 0$

B. $(P) : x + y = 0$

C. $ (Q) : x + 11 y + 1 = 0$

D. $(β) : z = 1$

Lời giải

Ta có trục Oz có véctơ chỉ phương là $\overset{⇀}{k} = (0; 0; 1)$

Gọi $\overset{⇀}{n_{(α)}} = (0; 0; 1), \overset{⇀}{n_{(P)}} = (1; 1; 0)$

$\overset{⇀}{n_{(Q)}} = (1; 11; 0), \overset{⇀}{n_{(β)}} = (0; 0; 1)$

lần lượt là véctơ pháp tuyến của các mặt phẳng $(α), (P), (Q), (β)$

Nhận thấy $\overset{⇀}{n_{(α)}} . \overset{⇀}{k} = 0.0 + 0.0 + 1.1 = 1 # 0$

và $\overset{⇀}{n_{(β)}} . \overset{⇀}{k} = 0.0 + 0.0 + 1.1 = 1 # 0$ nên ta loại A và D.

Nhận thấy $\overset{⇀}{n_{(P)}} . \overset{⇀}{k} = 1.0 + 1.0 + 0.1 = 0$

và $O \in O z \cap (P) \Rightarrow O z \subset (P)$ nên ta loại B.

Chọn đáp án C.

Câu 2

Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 5 x$ là

A. $\frac{1}{5} \cos 5 x + C$

B. $\cos 5 x + C$

C. $- \cos 5 x + C$

D. $- \frac{1}{5} \cos 5 x + C$

Lời giải

Ta có

$\int \sin 5 x d x = \frac{1}{5} \int \sin 5 x d (5 x) = - \frac{1}{5} \cos 5 x + C$

Chọn đáp án D.

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆ : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(α) : x - y + 2 z = 0$ . Góc giữa đường thẳng $∆$ và mặt phẳng $(α)$ bằng

A. $30 °$

B. $60 °$

C. $150 °$

D. $120 °$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = f (2 x) - \sin^{2} x$ trên [-1;1]

A. f(-1)

B. f(0)

C. f(2)

D. f(1)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{3}$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Môđun $|z_{1} + z_{2}|$ bằng

A. 2

B. 3

C. $\sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ như hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi parabol có đỉnh $B_{1}$ , trục đối xứng $B_{1} B_{2}$ và đi qua các điểm M, N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/ m² và trang trí đen led phần còn lại với giá 500.000 đồng/ m² . Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng $A_{1} A_{2} = 4 m, B_{1} B_{2} = 2 m, M N = 2 m$ .

A. 2.341.000 đồng

B. 2.057.000 đồng

C. 2.760.000 đồng

D. 1.664.000 đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình $2^{x} < 3 - \frac{2}{2^{x}}$ là khoảng (a;b). Giá trị a+b là

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại hai số phức phân biệt z1,z2 thỏa mãn đồng thời các phương trình z-1=z-i và z+2m=m+1. Tổng tất cả các phần tử của S là

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=sin5x là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: x1=y2=z-1 và mặt phẳng α: x-y+2z=0. Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng α bằng

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dướiGiá trị lớn nhất của hàm số g(x)=f(2x)-sin2x trên [-1;1]

Cho các số phức z1,z2 thỏa mãn z1=z2=3 và z1-z2=2. Môđun z1+z2 bằng

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình 2x<3-22x là khoảng (a;b). Giá trị a+b là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại hai số phức phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn đồng thời các phương trình $|z - 1| = |z - i|$ và $|z + 2 m| = |m + 1|$ . Tổng tất cả các phần tử của S là

Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 5 x$ là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆ : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(α) : x - y + 2 z = 0$ . Góc giữa đường thẳng $∆$ và mặt phẳng $(α)$ bằng

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = f (2 x) - \sin^{2} x$ trên [-1;1]

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{3}$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Môđun $|z_{1} + z_{2}|$ bằng

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình $2^{x} < 3 - \frac{2}{2^{x}}$ là khoảng (a;b). Giá trị a+b là