Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại hai số phức phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn đồng thời các phương trình $\left|z-1\right|=\left|z-i\right|$ và $\left|z+2m\right|=\left|m+1\right|$. Tổng tất cả các phần tử của S là

Cách 1 (cách hình học): Gọi $M(x;y)\left(x.y\in \mathrm{ℝ}\right)$ là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Có: $\left|z+2m\right|=m+1\ge 0$ 

TH1: $m+1=0\iff \iff m=-1\Rightarrow z=2$ (loại) vì không thỏa mãn phương trình: $\left|z-1\right|=\left|z-i\right|$ 

TH2: $m+1>0\iff m>-1$ 

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left|z-1\right|=\left|z-i\right|\\ \left|z+2m\right|=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left|\left(x-1\right)+yi\right|=\left|x+\left(y-1\right)i\right|\\ \left|\left(x+2m\right)+yi\right|=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+y^2=x^2+{\left(y-1\right)}^2\\ {\left(x+2m\right)}^2+y^2={\left(m+1\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x-y=0\left(1\right)\\ {\left(x+2m\right)}^2+y^2={\left(m+1\right)}^2\left(2\right)\end{array}\right.\left(*\right) \end{gathered}$$

Từ (1) suy ra: tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn của số phức z là đường thẳng: $(∆): x-y=0$ 

Từ (2) suy ra: tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn của số phức z là đường tròn

$\left(C\right): \left\{\begin{array}{l}Tâm I(-2m;0)\\ bk R=m+1\end{array}\right.$ 

Khi đó: $M\in ∆\cap \left(C\right)\Rightarrow$ số giao điểm M chính là số nghiệm của hệ phương trình (*).

Để tồn tại hai số phức phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn ycbt $\iff \left(C\right)$ cắt $∆$ tại hai điểm phân biệt

$$\begin{gathered} \iff d\left(I,\left(∆\right)\right)<R\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{\left|-2m\right|}{\sqrt{2}}<m+1\\ m+1>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-\left(m+1\right)<\sqrt{2}m<m+1\\ m+1>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}1-\sqrt{2}<m<1+\sqrt{2}\\ m>-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vì $m\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow m\in S\left\{0;1;2\right\}$. Vậy tổng các phần tử của S là 0+1+2=3.

Cách 2 (cách đại số):

Giả sử: $z=x+yi\left(x;y\in \mathrm{ℝ}\right)$ 

Có: $\left|z+2m\right|=m+1\ge 0$

TH1: $m+1=0\iff \iff m=-1\Rightarrow z=2$ (loại) vì không thỏa mãn phương trình: $\left|z-1\right|=\left|z-i\right|$ 

TH2: $m+1>0\iff m>-1$ (1)

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left|z-1\right|=\left|z-i\right|\\ \left|z+2m\right|=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left|\left(x-1\right)+yi\right|=\left|x+\left(y-1\right)i\right|\\ \left|\left(x+2m\right)+yi\right|=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+y^2=x^2+{\left(y-1\right)}^2\\ {\left(x+2m\right)}^2+y^2={\left(m+1\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x\\ {\left(x+2m\right)}^2+x^2={\left(m+1\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x\\ 2x^2+4mx+3m^2-2m+1=0\left(*\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để tồn tại hai số phức phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn ycbt PT (*) có 2 nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} \iff ∆\text{'}=4m^2-2(3m^2-2m-1) \\ =2\left(-m^2+2m+1\right)>0 \\ \iff 1-\sqrt{2}<m<1+\sqrt{2}\left(2\right) \end{gathered}$$

Kết hợp điều kiện (1) và (2), $m\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow m\in S=\left\{0;1;2\right\}$

Vậy tổng các phần tử của S là: 0+1+2=3

Chọn đáp án D.