Câu hỏi:

27/04/2020 487

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD

A. $\frac{\sqrt{6} a}{6}$

B. $\frac{\sqrt{6} a}{2}$

C. $\frac{\sqrt{6} a}{3}$

D. $\frac{\sqrt{3} a}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ Đề thi THPT Quốc gia chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục môn Toán 2019 !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1:

Gọi I là trung điểm của cạnh AD.

$∆ A B C$ vuông cân tại B, $∆ I C D$ vuông cân tại I và có AB=IC=a nên $A C = C D = a \sqrt{2}$

Khi đó $A C^{2} + C D^{2} = A D^{2}$ nên $∆ A C D$ vuông cân tại C.

Trong (ABCD), dựng hình vuông ACDE. Trong $∆ S A E$ , kẻ $A H ⊥ S E (1)$

Ta có

$\begin{array}{r} E D ⊥ S A \\ E D ⊥ A E \end{array}\} \Rightarrow E D ⊥ (S A E) \Rightarrow E D ⊥ A H (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $A H ⊥ (S D E)$

Vì $A C / / E D$ nên

$d (A C, S D) = d (A C, (S D E)) = d (A; (S D E)) = A H$

Trong $∆ S A E, \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A E^{2}}$

$\Leftrightarrow A H = \frac{S A . A E}{\sqrt{S A^{2} = A E^{2}}} \Leftrightarrow A H = \frac{a . a . \sqrt{2}}{\sqrt{a^{2} + (a \sqrt{2})^{2})}} = \frac{\sqrt{6} a}{3}$

Vậy $d (A C, S D) = \frac{\sqrt{6} a}{3}$

Cách 2:

Dễ thấy $D C ⊥ (S A C)$ . Trên mặt phẳng (ABCD)

dựng: $A G / / C D, D G / / A C, D G \cap A B = \{E\}$

Dễ dàng chứng minh được: S.AED là tam diện vuông (1)

Tính được: AE=AD=2a.

Mà $A C / / (S D E)$

$\Rightarrow d_{(A C, S D)} = d_{(A C, (S D E))} = d_{(A, (S D E))} = A H$

Với AH là đoạn thẳng dựng từ A vuông góc với mặt phẳng (ADE)

Ta có: $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A E^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}$

$\Rightarrow A H = \frac{\sqrt{6} a}{3}$

Cách 3:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz

Khi đó $A (0; 0; 0); C (a; a; 0);$

$D (0; 2 a; 0); S (0; 0; a)$

Do đó $\overset{⇀}{A C} = (a; a; 0); \overset{⇀}{S D} = (0; 2 a; - a)$ ; $\overset{⇀}{S A} = (0; 0; - a);$

và $[\overset{⇀}{A C}; \overset{⇀}{S D}] = (- a; a; 2 a)$

Ta có $d (A C, S D) = \frac{|[\overset{⇀}{A C}; \overset{⇀}{S D}] . \overset{⇀}{S A}|}{[\overset{⇀}{A C;} \overset{⇀}{S D}]}$

$= \frac{|- a . 0 + a . 0 + 2 a . (- a)|}{\sqrt{{(- a)}^{2} + a^{2} + {(2 a)}^{2}}} = \frac{\sqrt{6} a}{3}$

Chọn đáp án C.

Bình luận

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

A. $(α) : z = 0$

B. $(P) : x + y = 0$

C. $ (Q) : x + 11 y + 1 = 0$

D. $(β) : z = 1$

Xem đáp án » 26/04/2020 35,219

Câu 2:

Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 5 x$ là

A. $\frac{1}{5} \cos 5 x + C$

B. $\cos 5 x + C$

C. $- \cos 5 x + C$

D. $- \frac{1}{5} \cos 5 x + C$

Xem đáp án » 26/04/2020 24,592

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆ : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(α) : x - y + 2 z = 0$ . Góc giữa đường thẳng $∆$ và mặt phẳng $(α)$ bằng

A. $30 °$

B. $60 °$

C. $150 °$

D. $120 °$

Xem đáp án » 26/04/2020 16,806

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = f (2 x) - \sin^{2} x$ trên [-1;1]

A. f(-1)

B. f(0)

C. f(2)

D. f(1)

Xem đáp án » 27/04/2020 15,344

Câu 5:

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{3}$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Môđun $|z_{1} + z_{2}|$ bằng

A. 2

B. 3

C. $\sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án » 27/04/2020 14,724

Câu 6:

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ như hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi parabol có đỉnh $B_{1}$ , trục đối xứng $B_{1} B_{2}$ và đi qua các điểm M, N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/ m² và trang trí đen led phần còn lại với giá 500.000 đồng/ m² . Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng $A_{1} A_{2} = 4 m, B_{1} B_{2} = 2 m, M N = 2 m$ .

A. 2.341.000 đồng

B. 2.057.000 đồng

C. 2.760.000 đồng

D. 1.664.000 đồng

Xem đáp án » 27/04/2020 12,227

Câu 7:

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình $2^{x} < 3 - \frac{2}{2^{x}}$ là khoảng (a;b). Giá trị a+b là

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án » 26/04/2020 8,914

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD

20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết)

500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 5 x$ là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆ : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(α) : x - y + 2 z = 0$ . Góc giữa đường thẳng $∆$ và mặt phẳng $(α)$ bằng

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = f (2 x) - \sin^{2} x$ trên [-1;1]

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{3}$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Môđun $|z_{1} + z_{2}|$ bằng

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình $2^{x} < 3 - \frac{2}{2^{x}}$ là khoảng (a;b). Giá trị a+b là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD

Bình luận

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=sin5x là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: x1=y2=z-1 và mặt phẳng α: x-y+2z=0. Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng α bằng

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dướiGiá trị lớn nhất của hàm số g(x)=f(2x)-sin2x trên [-1;1]

Cho các số phức z1,z2 thỏa mãn z1=z2=3 và z1-z2=2. Môđun z1+z2 bằng

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình 2x<3-22x là khoảng (a;b). Giá trị a+b là

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 5 x$ là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆ : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(α) : x - y + 2 z = 0$ . Góc giữa đường thẳng $∆$ và mặt phẳng $(α)$ bằng

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = f (2 x) - \sin^{2} x$ trên [-1;1]

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{3}$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Môđun $|z_{1} + z_{2}|$ bằng

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình $2^{x} < 3 - \frac{2}{2^{x}}$ là khoảng (a;b). Giá trị a+b là