Giả sử hàm f có đạo hàm cấp n trên R,n∈N* và f(1-x)+x2f''(x)=2x với mọi x∈ℝ. Tính tích phân I=∫01xf'(x)dx A. I=1 B. I=-1 C. I=13 D. I=-13

f(1-x)+x2f''(x)=2x1 Thay x=0 vào (1) ta được f(1)=0 Đạo hàm hai vế của (1) ta có -f'(1-x)+2xf''(x)+x2f'''(x)=22 Thay x=0 vào (2) ta được f'(1)=2Mặt khác, lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 của (1) ta có:∫01f(1-x)dx+∫01x2f''(x)dx=∫012xdx⇔-∫01f(1-x)d(1-x)+f'(1)-2∫01xf'(x)dx=1⇔∫01f(x)dx-2∫01xf'(x)dx=3Đặt ∫1f(x)dx=I1. Vì∫01xf'(x)dx=f(1)-∫01f(x)dx=-∫01f(x)dxnên ta có hệ: I1-2I=3I=-I1⇔I1=1I=-1 Vậy I=-1Chọn đáp án B.

Câu hỏi:

27/04/2020 8,181

Giả sử hàm f có đạo hàm cấp n trên R, $(n \in N^{*})$ và $f (1 - x) + x^{2} f'' (x) = 2 x$ với mọi $x \in ℝ$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} x f' (x) d x$

A. I=1

B. I=-1

C. I= $\frac{1}{3}$

D. I= $- \frac{1}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ Đề thi THPT Quốc gia chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục môn Toán 2019 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$f (1 - x) + x^{2} f'' (x) = 2 x (1)$

Thay x=0 vào (1) ta được f(1)=0

Đạo hàm hai vế của (1) ta có $- f' (1 - x) + 2 x f'' (x) + x^{2} f''' (x) = 2 (2)$

Thay x=0 vào (2) ta được f'(1)=2

Mặt khác, lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 của (1) ta có:

$\int_{0}^{1} f (1 - x) d x + \int_{0}^{1} x^{2} f'' (x) d x = \int_{0}^{1} 2 x d x$

$\Leftrightarrow - \int_{0}^{1} f (1 - x) d (1 - x) + f' (1) - 2 \int_{0}^{1} x f' (x) d x = 1 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x - 2 \int_{0}^{1} x f' (x) d x = 3$

Đặt $\int_{}^{1} f (x) d x = I_{1}$ . Vì

$\int_{0}^{1} x f' (x) d x = f (1) - \int_{0}^{1} f (x) d x = - \int_{0}^{1} f (x) d x$

nên ta có hệ: $\{\begin{cases} I_{1} - 2 I = 3 \\ I = - I_{1} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} I_{1} = 1 \\ I = - 1 \end{cases}$

Vậy I=-1

Chọn đáp án B.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

A. $(α) : z = 0$

B. $(P) : x + y = 0$

C. $ (Q) : x + 11 y + 1 = 0$

D. $(β) : z = 1$

Lời giải

Ta có trục Oz có véctơ chỉ phương là $\overset{⇀}{k} = (0; 0; 1)$

Gọi $\overset{⇀}{n_{(α)}} = (0; 0; 1), \overset{⇀}{n_{(P)}} = (1; 1; 0)$

$\overset{⇀}{n_{(Q)}} = (1; 11; 0), \overset{⇀}{n_{(β)}} = (0; 0; 1)$

lần lượt là véctơ pháp tuyến của các mặt phẳng $(α), (P), (Q), (β)$

Nhận thấy $\overset{⇀}{n_{(α)}} . \overset{⇀}{k} = 0.0 + 0.0 + 1.1 = 1 # 0$

và $\overset{⇀}{n_{(β)}} . \overset{⇀}{k} = 0.0 + 0.0 + 1.1 = 1 # 0$ nên ta loại A và D.

Nhận thấy $\overset{⇀}{n_{(P)}} . \overset{⇀}{k} = 1.0 + 1.0 + 0.1 = 0$

và $O \in O z \cap (P) \Rightarrow O z \subset (P)$ nên ta loại B.

Chọn đáp án C.

Câu 2

Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 5 x$ là

A. $\frac{1}{5} \cos 5 x + C$

B. $\cos 5 x + C$

C. $- \cos 5 x + C$

D. $- \frac{1}{5} \cos 5 x + C$

Lời giải

Ta có

$\int \sin 5 x d x = \frac{1}{5} \int \sin 5 x d (5 x) = - \frac{1}{5} \cos 5 x + C$

Chọn đáp án D.

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆ : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(α) : x - y + 2 z = 0$ . Góc giữa đường thẳng $∆$ và mặt phẳng $(α)$ bằng

A. $30 °$

B. $60 °$

C. $150 °$

D. $120 °$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = f (2 x) - \sin^{2} x$ trên [-1;1]

A. f(-1)

B. f(0)

C. f(2)

D. f(1)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{3}$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Môđun $|z_{1} + z_{2}|$ bằng

A. 2

B. 3

C. $\sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ như hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi parabol có đỉnh $B_{1}$ , trục đối xứng $B_{1} B_{2}$ và đi qua các điểm M, N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/ m² và trang trí đen led phần còn lại với giá 500.000 đồng/ m² . Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng $A_{1} A_{2} = 4 m, B_{1} B_{2} = 2 m, M N = 2 m$ .

A. 2.341.000 đồng

B. 2.057.000 đồng

C. 2.760.000 đồng

D. 1.664.000 đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình $2^{x} < 3 - \frac{2}{2^{x}}$ là khoảng (a;b). Giá trị a+b là

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Giả sử hàm f có đạo hàm cấp n trên R,n∈N* và f(1-x)+x2f''(x)=2x với mọi x∈ℝ. Tính tích phân I=∫01xf'(x)dx

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=sin5x là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: x1=y2=z-1 và mặt phẳng α: x-y+2z=0. Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng α bằng

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dướiGiá trị lớn nhất của hàm số g(x)=f(2x)-sin2x trên [-1;1]

Cho các số phức z1,z2 thỏa mãn z1=z2=3 và z1-z2=2. Môđun z1+z2 bằng

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình 2x<3-22x là khoảng (a;b). Giá trị a+b là

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Giả sử hàm f có đạo hàm cấp n trên R, $(n \in N^{*})$ và $f (1 - x) + x^{2} f'' (x) = 2 x$ với mọi $x \in ℝ$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} x f' (x) d x$

Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 5 x$ là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆ : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(α) : x - y + 2 z = 0$ . Góc giữa đường thẳng $∆$ và mặt phẳng $(α)$ bằng

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f '(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = f (2 x) - \sin^{2} x$ trên [-1;1]

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{3}$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Môđun $|z_{1} + z_{2}|$ bằng

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình $2^{x} < 3 - \frac{2}{2^{x}}$ là khoảng (a;b). Giá trị a+b là