Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $9.3^{2x}-m\left(4\sqrt[4]{x^2+2x+1}+3m+3\right).3^x+1$ =0 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt

Ta có

$$\begin{gathered} 9.3^{2x}-m(4\sqrt[4]{x^2+2x+1}+3m+3).3^x \\ +1=0 \\ \iff 3^{x+1}+\frac{1}{3^{x+1}}-\frac{m}{3}\left(4\sqrt{\left|x+1\right|}+3m+3\right) \\ =0\left(1\right) \end{gathered}$$

Đặt t=x+1, phương trình (1) thành

$3^t+\frac{1}{3^t}-\frac{m}{3}\left(4\sqrt{\left|x+1\right|}+3m+3\right)=0\left(2\right)$

Bài toán trở thành tìm số giá trị nguyên của m để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

Nhận xét: Nếu $t_0$ là một nghiệm của phương trình (2) thì $-t_0$ cũng là một nghiệm của phương trình (2). Do đó điều kiện cần để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt là phương trình (2) có nghiệm t=0.

Với t=0 thay vào phương trình (2) ta có

$-m^2-m+2=0\iff [\begin{array}{c}m=1\\ m=-2\end{array}$

Thử lại:

+) Với m=-2 phương trình (2) thành $3^t+\frac{1}{3^t}+\frac{2}{3}\left(4\sqrt{\left|t\right|}-3\right)=0$

Ta có $3^t+\frac{1}{3^t}\ge 2,\forall t\in \mathrm{ℝ}$ và $\frac{2}{3}\left(4\sqrt{\left|t\right|}-3\right)=0,\forall t\in \mathrm{ℝ}$ suy ra $3^t+\frac{1}{3^t}+\frac{2}{3}\left(4\sqrt{\left|t\right|}-3\right)=0\ge 0,\forall t\in \mathrm{ℝ}$

Dấu bằng xảy ra khi t=0, hay phương trình (2) có nghiệm duy nhất t=0 nên loại m=-2 

+) Với m=1 phương trình (2) thành $3^t+\frac{1}{3^t}+\frac{1}{3}\left(4\sqrt{\left|t\right|}+6\right)=0\left(3\right)$

Dễ thấy phương trình (3) có 3 nghiệm t=-1,t=0,t=1 

Ta chứng minh phương trình (3) chỉ có 3 nghiệm t=-1,t=0,t=1.Vì t là nghiệm thì -t cũng là nghiệm phương trình (3) nên ta chỉ xét phương trình (3) trên $[0;+\infty )$

Trên tập $[0;+\infty )$,(3) $\iff 3^t+\frac{1}{3^t}+\frac{1}{3}\left(4\sqrt{t}+6\right)=0$ 

Xét hàm $f\text{'}\left(x\right)=3^t+\frac{1}{3^t}+\frac{1}{3}\left(4\sqrt{t}+6\right)$ trên $[0;+\infty )$

Ta có

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(t\right)=3^t\ln 3-3^{-t}.\ln 3-\frac{2}{3\sqrt{t}}, \\ f\text{'}\text{'}\left(t\right)=3^t{\ln }^{2}3+3^{-t}.{\ln }^{2}3+\frac{1}{3.{\left(\sqrt{t}\right)}^3}>0, \\ \forall t>0 \end{gathered}$$

Suy ra f '(t) đồng biến trên $(0;+\infty )\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=0$ có tối đa 1 nghiệm $t>0\Rightarrow f\left(t\right)=0$ có tối đa 2 nghiệm $t\in [0;+\infty )$. Suy ra trên $[0;+\infty )$, phương trình (3) có 2 nghiệm t=0, t=1 

Do đó trên tập $\mathrm{ℝ}$, phương trình (3) có đúng 3 nghiệm t=-1,t=0,t=1. Vậy chọn m=1   

Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm này, sau khi loại được m=-2 ta có thể kết luận đáp án C do đề  không có phương án nào là không tồn tại m.

Chọn đáp án C.