Cho hàm số $f\left(x\right) = \frac{\left(x-1\right)\left|x\right|}{x}$

Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2 - 2}{x - \sqrt{2}} nếu x\ne \sqrt{2}\\ 2\sqrt{2} nếu x = \sqrt{2}\end{array}\right.$

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$

Chứng minh rằng nếu $\underset{x\to x_0}{\lim } \frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} = L$ thì hàm số f(x) liên tục tại điểm $x_0$

Đặt $g\left(x\right) = \frac{f\left(x\right) - f(x_0 )}{x - x_0} - L$  và biểu diễn f(x) qua g(x)

Xét tính liên tục của các hàm số sau: $g\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{x - 1}{\sqrt{2 - x} - 1} nếu x\le 1\\ -2x nếu x\ge 1\end{array} tại x = 1\right.$

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Cho ví dụ minh hoạ.

Chứng minh rằng phương trình $\sqrt{x^3 + 6x + 1} -2 = 0$ có nghiệm dương

Chứng minh rằng phương trình cos2x = sinx − 2 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6} ; \mathrm{\pi }\right)$

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m $m(2\cos x -\sqrt{ 2}) = 2\sin 5x + 1$