Bài 3: Hàm số liên tục

🔥 Học sinh cũng đã học

18 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

84 lượt thi 21 câu hỏi

18 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THCS&THPT Tạ Quang Bửu (Hà Nội) có đáp án

84 lượt thi 21 câu hỏi

30 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THCS&THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Hà Nội) có đáp án

96 lượt thi 22 câu hỏi

65 người thi tuần này

Trắc nghiệm Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

1.5 K lượt thi 20 câu hỏi

60 người thi tuần này

Trắc nghiệm Công thức cộng xác suất lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

2.4 K lượt thi 20 câu hỏi

225 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 2345

3 K lượt thi 21 câu hỏi

109 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 0123

2.9 K lượt thi 21 câu hỏi

76 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Vạn Xuân (Hoài Đức-Hà Nội) có đáp án - Đề chẵn

2.8 K lượt thi 21 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/17

Cho hàm số $f (x) = \frac{(x - 1) |x|}{x}$
Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.

Xem đáp án

Lời giải

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Hàm số này có tập xác định là R \ {0}

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Từ đồ thị (H.7) dự đoán f(x) liên tục trên các khoảng (−∞;0), (0; +∞) nhưng không liên tục trên R. Thật vậy,

- Với x > 0, f(x) = x − 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (0; +∞)

- Với x < 0, f(x) = 1 – x cũng là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (−∞; 0)

Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Câu 2/17

Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)

Xem đáp án

Lời giải

Xét hàm số

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

- Trường hợp x ≤ 0

f(x) = x + 2 là hàm đa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]

- Trường hợp x > 0

$f (x) = 1 / x^{2}$ là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (2; 0) thuộc tập xác định của nó.

Như vậy f(x) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)

Tuy nhiên, vì Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11 nên hàm số f(x) không cógiới hạn hữu hạn tại x = 0. Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2)

Câu 3/17

Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)

Xem đáp án

Lời giải

Vì hàm số liên tục trên (a; b] nên liên tục trên (a; b) và

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11 (1)

Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) liên tục trên các khoảng (a; b), (b; c) và liên tục tại x = b

(vì Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11 ).

Nghĩa là nó liên tục trên (a; c)

Câu 4/17

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_{0}$
Chứng minh rằng nếu $\lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = L$ thì hàm số f(x) liên tục tại điểm $x_{0}$
Đặt $g (x) = \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} - L$ và biểu diễn f(x) qua g(x)

Xem đáp án

Lời giải

Đặt Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Suy ra g(x) xác định trên $(a; b) \ \{x_{0}\}$ và Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Mặt khác, $f (x) = f (x_{0}) + L (x - x_{0}) + (x - x_{0}) g (x)$ nên

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại

Câu 5/17

Xét tính liên tục của các hàm số sau: $f (x) = \sqrt{x + 5} t ạ i x = 4$

Xem đáp án

Lời giải

Hàm số Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11 có tập xác định là [-5; +∞).

Do đó, nó xác định trên khoảng (-5; +∞) chứa x = 4

Vì Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

nên f(x) liên tục tại x = 4

Câu 6/17

Xét tính liên tục của các hàm số sau: $g (x) = \{\begin{array}{l} \frac{x - 1}{\sqrt{2 - x} - 1} n ế u x \leq 1 \\ - 2 x n ế u x \geq 1 \end{array} t ạ i x = 1$

Xem đáp án

Lời giải

Hàm số: Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

tại x = 1 có tập xác định là R

Ta có g(1) = -2 (1)

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Từ (1), (2) và (3) suy ra

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Vậy g(x) liên tục tại x = 1

Câu 7/17