Bài 3: Hàm số liên tục

Cho hàm số $f\left(x\right) = \frac{\left(x-1\right)\left|x\right|}{x}$

Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.

Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)

Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$

Chứng minh rằng nếu $\underset{x\to x_0}{\lim } \frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} = L$ thì hàm số f(x) liên tục tại điểm $x_0$

Đặt $g\left(x\right) = \frac{f\left(x\right) - f(x_0 )}{x - x_0} - L$  và biểu diễn f(x) qua g(x)

Xét tính liên tục của các hàm số sau: $f\left(x\right) = \sqrt{x + 5} tại x = 4$

Xét tính liên tục của các hàm số sau: $g\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{x - 1}{\sqrt{2 - x} - 1} nếu x\le 1\\ -2x nếu x\ge 1\end{array} tại x = 1\right.$

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2 - 2}{x - \sqrt{2}} nếu x\ne \sqrt{2}\\ 2\sqrt{2} nếu x = \sqrt{2}\end{array}\right.$

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng $g\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{1 - x}{{\left(x - 2\right)}^2} nếu x \ne 2\\ 3 nếu x = 2\end{array}\right.$

Tìm giá trị của tham số m để hàm số $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x} - 1}{x^2 -1} nếu x \ne 1\\ m^2 nếu x = 1\end{array}\right.$ liên tục tại x = 1

Chứng minh rằng phương trình $x^5 - 3x - 7 = 0$ luôn có nghiệm

Chứng minh rằng phương trình cos2x = sinx − 2 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6} ; \mathrm{\pi }\right)$

Chứng minh rằng phương trình $\sqrt{x^3 + 6x + 1} -2 = 0$ có nghiệm dương

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m $(1 - m^2){\left(x + 1\right)}^3 + x^2 – x – 3 = 0$

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m $m(2\cos x -\sqrt{ 2}) = 2\sin 5x + 1$

Chứng minh phương trình luôn $x^n + a_1{x}^{n-1} + a_2{x}^{n-2} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$ có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Cho ví dụ minh hoạ.

Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh hoạ hình học.