Chứng minh rằng phương trình $x^5 - 3x - 7 = 0$ luôn có nghiệm

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2 - 2}{x - \sqrt{2}} nếu x\ne \sqrt{2}\\ 2\sqrt{2} nếu x = \sqrt{2}\end{array}\right.$

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m $(1 - m^2){\left(x + 1\right)}^3 + x^2 – x – 3 = 0$

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$

Chứng minh rằng nếu $\underset{x\to x_0}{\lim } \frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} = L$ thì hàm số f(x) liên tục tại điểm $x_0$

Đặt $g\left(x\right) = \frac{f\left(x\right) - f(x_0 )}{x - x_0} - L$  và biểu diễn f(x) qua g(x)

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Cho ví dụ minh hoạ.

Xét tính liên tục của các hàm số sau: $g\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{x - 1}{\sqrt{2 - x} - 1} nếu x\le 1\\ -2x nếu x\ge 1\end{array} tại x = 1\right.$

Chứng minh rằng phương trình $\sqrt{x^3 + 6x + 1} -2 = 0$ có nghiệm dương

Chứng minh rằng phương trình cos2x = sinx − 2 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6} ; \mathrm{\pi }\right)$