Bài 1: Giới hạn của dãy số

Biết rằng dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số $\left(v_n\right)$ với $v_n = \left|u_n\right|$ cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không?

Cho biết dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn, còn dãy số $\left(v_n\right)$ không có giới hạn hữu hạn. Dãy số $(u_n + v_n)$  có thể có giới hạn hữu hạn không?

Cho hai dãy số $\left(u_n\right)$ và $\left(v_n\right)$. Biết $lim u_n = -\infty$ và $v_n \le u_n$ với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy $\left(v_n\right)$ khi $n \to +\infty$?

Tìm $lim v_n$ với $v_n = -n!$

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ $a_n= \frac{2n-3n^2 +1}{n^3 + n^1}$

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ $b_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{n^2 + 4}$

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ $c_n = \frac{2n\sqrt{n}}{n^2 + 2n - 1}$

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ $u_n = 2^n + \frac{1}{n}$

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ $v_n = {\left(\frac{-\sqrt{2}}{\mathrm{\pi }}\right)}^n + \frac{3^n}{4^n}$

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ $u_n = \frac{3^n - 4^n + 1}{2.4^n + 2^n}$

Tính các giới hạn sau $lim(n^2 + 2n - 5)$

Tính các giới hạn sau: $lim(-n^3 - 3n^2 - 2)$

Tính các giới hạn sau: $lim[4n + {\left(-2\right)}^n]$

Cho hai dãy số $\left(u_n\right)$ và $\left(v_n\right)$. Chứng minh rằng nếu lim $v_n = 0 và \left|u_n\right| \ge v_n$ với mọi n thì $lim u_n = 0$

Biết $\left|u_n - 2\right|\le \frac{1}{3^n}$ Có kết luận gì về giới hạn của dãy số $\left(u_n\right)$?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xácđịnh bởi công thức truy hồi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 2\\ u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2} với n\ge 1\end{array}\right.$

Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi Tìm giới hạn đó.

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $1; \frac{-1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{-1}{8};....; {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{n-1}; .....$

Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3

Cho dãy số $\left(b_n\right)$ có số hạng tổng quát là $b_n = \sin \alpha + {\sin }^2\alpha + ... + {\sin }^n\alpha$với $\alpha \ne \pi /2 + k\pi$. Tìm giới hạn của $\left(b_n\right)$

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212... (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.